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如图,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=-2与x轴交于点C,直线y=-精英家教网2x+1经过抛物线上一点B(2,m),且与y轴.直线x=-2分别交于点D、E.
(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式;
(2)①判断△CBE的形状,并说明理由;②判断CD与BE的位置关系;
(3)若P(x,y)是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点P,使得PB=PE?若存在,试求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据抛物线的对称轴为x=-2,且过O、A两点,因此A点的坐标为(-2,0).可用交点式二次函数通式来设抛物线的解析式,然后根据直线y=-2x+1求出B点的坐标,将B点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式.
(2)①可根据抛物线的解析式求出D,E点的坐标,进而可求出△CBE三边的长,可据此来进行判断△CBE的形状.
②应该是CD⊥EB,可过E、B作y轴的垂线通过证三角形全等来得出D是BE中点,然后根据等腰三角形三线合一的特点来得出CD⊥EB的结论.
(3)由题意可知:P点必为线段BE垂直平分线与抛物线的交点,可先求出线段BE的垂直平分线,然后联立抛物线的解析式,即可求出符合条件的P点的坐标.
解答:精英家教网解:(1)∵点B(2,m)在直线y=-2x+1上,
∴m=-2×2+1=-3,
∴B(2,-3)
∵抛物线经过原点O和点A,对称轴为x=-2,
∴点A的坐标为(-4,0)
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x+4),将点B(2,-3)代入上式,
得-3=a(2-0)(2+4),
∴a=-
1
4

∴所求的抛物线对应的函数关系式为y=-
1
4
(x+4),
即y=-
1
4
x2-x.

(2)①△CBE为等腰三角形
∵直线y=-2x+1与y轴、直线x=-2的交点坐标分别为D(0,1),E(-2,5)、过点B作BG∥x轴,与y轴交于F、直线x=-2交于G,
∴BG⊥直线x=-2,BG=4、
在Rt△BGC中,BC=
CG2+BG2
=5.
∵CE=5,
∴CB=CE=5,
∴△CBE为等腰三角形.
②CD⊥BE
过点E作EH∥x轴,交y轴于H,则点H的坐标为H(0,5),
又∵点F、D的坐标为F(0,-3)、D(0,1),
∴FD=DH=4,BF=EH=2,∠BFD=∠EHD=90°
∴△DFB≌△DHE(SAS),
∴BD=DE,即D是BE的中点,
∴CD⊥BE

(3)存在
∵PB=PE,
∴点P在直线CD上,
∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,将D(0,1)C(-2,0)代入,
b=1
-2k+b=0

解得k=
1
2
,b=1
∴直线CD对应的函数关系式为y=
1
2
x+1,
∵动点P的坐标为(x,-
1
4
x2-x
),
1
2
x+1=-
1
4
x2-x
解得x1=-3+
5
,x2=-3-
5

∴y1=
-1+
5
2
,y2=
-1-
5
2

∴符合条件的点P的坐标为(-3+
5
-1+
5
2
)或(-3-
5
-1-
5
2
).
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形全等、等腰三角形的判定和性质等重要知识点,综合性强,考查学生数形结合的数学思想方法.
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(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式;
(2)求证:①CB=CE;②D是BE的中点.

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如图,已知抛物线经过坐标原点,与x轴的另一个交点为A,且顶点M坐标为(1,2),
(1)求该抛物线的解析式;
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(2)现将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从左图所示位置沿x轴的正方向匀速平行移动;同时AB上一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速运动,设它们的运动时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与抛物线的交点为N,设多边形PNCD的面积为S,试探究S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由.
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