Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为l．
（1）填表：

三边a、b、c	a+b-c
3、4、5	2
5、12、13	4
8、15、17	6

（2）如果a+b-c=m，观察上表猜想：=______，（用含有m的代数式表示）；
（3）说出（2）中结论成立的理由．

Answer 1

解：（1）∵Rt△ABC的面积S=ab，周长l=a+b+c，故当a、b、c三边分别为3、4、5时，S=×3×4=6，l=3+4+5=12，故=，同理将其余两组数据代入可得为1，．
∴应填：，1，

（2）通过观察以上三组数据，可得出．

（3）∵l=a+b+c，m=a+b-c，
∴lm=（a+b+c）（a+b-c）
=（a+b）²-c²
=a²+2ab+b²-c²．
∵∠C=90°，
∴a²+b²=c²，s=ab，
∴lm=4s．即．
分析：（1）Rt△ABC的面积S=ab，周长l=a+b+c，分别将3、4、5，5、12、13，8、15、17三组数据代入两式，可求出的值；
（2）通过观察以上三组数据，可得出：=；
（3）根据lm=（a+b+c）（a+b-c），a²+b²=c²，S=ab可得出：lm=4s，即=．
点评：本题主要考查勾股定理在解直角三角形面积和周长中的运用．