Question

如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD、AD上，且AB=2CE=3AF，过F作FG⊥BE于P交BC于G，连接DP交BC于H，连BF、EF． 下列结论：
①△PBF为等腰直角三角形；②H为BC的中点；③∠DEF=2∠PFE；④

S△PHG

S△PDE

=

2

3

．
其中正确的结论（　　）

A．只有①②③

B．只有①②④

C．只有③④

D．①②③④

Answer 1

分析：如图，①绕点B将△EBC逆时针旋转90°得△ABM，就有AM=CE，由勾股定理可以求出EF的值，通过证明△EFB≌△MFB就可以求出①；根据△BPG∽△BCE就可以求出PG、BG从而求出GC，再求△HPG∽△DPF得出GH的值就可以得出HC的值，从而得出②的结论；由△BCE≌△DCH可以得出∠1=∠4，根据四点共圆的性质可以得出∠4=∠5，进而由角的关系得出∠9=∠5而得出③成立；根据△BHP≌△DEP就可以得出面积相等，根据等高的两三角形的面积关系等于底之比就可以求出结论．

解答：解：如图，①绕点B将△EBC逆时针旋转90°得△ABM，
∴AM=CE，BE=BM，∠1=∠2．∠BAM=∠BCE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°．AD∥BC．
∴∠BAM=∠BCE=90°，
∴∠MAF=180°，
∴点M、A、F在同一直线上．
∵AB=2CE=3AF，设AF=x，
∴AB=3x，CE=1.5x，
∴MF=1.5x+x=2.5x，FD=3x-x=2x，ED=1.5x．
在Rt△DFE中，由勾股定理得EF=2.5x，
∴EF=MF．
∵在△EFB和△MFB中，

EF=MF BE=BM BF=BF

，
∴△EFB≌△MFB（SSS），
∴∠EBF=∠MBF．
∵∠MBF=∠2+∠3，
∴∠MBF=∠1+∠3，
∴∠EBF=∠1+∠3．
∵∠EBF+∠1+∠3=90°，
∴∠EBF=45°．
∵FG⊥BE，
∴∠FPB=∠BPG=90°，
∴∠BFP=45°，
∴∠BFP=∠PBF，
∴PF=PB，
∴△PBF为等腰直角三角形，故①正确；
在Rt△AFB中，由勾股定理得BF=

10

x，
在Rt△BFP中，由勾股定理得PF=PB=

5

x，
在Rt△BEC中，由勾股定理得BE=

3

2

5

x，
∵∠1=∠1，∠BPG=∠BCE=90°，
∴△BPG∽△BCE，
∴

PG

CE

=

PB

BC

=

BG

BE

，
∴

PG

1.5x

=

5 x

3x

=

BG

3 2 5 x

，
∴PG=

5

2

x，BG=2.5x．
∴GC=0.5x．
∵AD∥BC，
∴△HPG∽△DPF，
∴

GH

DF

=

PG

PF

，
∴

GH

2x

=

5 2 x

5 x

，
∴GH=x，
∴HC=1.5x，
∴2HC=3x，
∴2HC=BC，
∴H是BC的中点．故②正确；
∵AB=2CE，
∴2HC=2CE，
∴HC=CE，
在△BCE和△DCH中，

BC=DC ∠C=∠C CE=CH

，
∴△BCE≌△DCH（SAS），
∴∠1=∠4．
过点E作QR∥FG交AD于Q，交BC的延长线于R．
∴∠BER=∠APG=90°，∠5=∠6．
∴∠7+∠8=90°．
∵∠1+∠7=90°，
∴∠1=∠8．
∵∠8=∠9，
∴∠1=∠9，
∴∠4=∠9．
∵∠FPE=∠FDE=90°，
∴F、P、E、D四点共圆，
∴∠4=∠5．
∴∠9=∠5，
∴∠DEF=2∠5，
即∠DEF═2∠PFE．故③正确；
∵在△BHP和△DEP中，

∠1=∠4 ∠BPH=∠DPE BH=DE

，
∴△BHP≌△DEP（AAS），
∴S_△BHP=S_△DEP．
作PS⊥BC于S，
∴S_△BHP=

BH•PS

2

，S_△PHG=

HG•PS

2

．
∴S_△BHP=

1.5x•PS

2

，S_△PHG=

x•PS

2

，
∴

S△PHG

S△PDE

=

S△PHG

S△PHB

=

x•PS 2

1.5x•PS 2

=

2

3

，故④正确．
∴①②③④都是正确的．
故选D．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，四点共圆定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用．解答时作出需要的辅助线是关键．