Question

已知k是一元二次方程x²-3x+1=0的一个根，求k²-2k+

3

k2+1

的值．

Answer 1

考点：一元二次方程的解

专题：

分析：将x=k代入方程得到k²-3k+1=0，即k²=3k-1，k²+1=3k，再由根与系数的关系可得方程的另一根为

1

k

，k+

1

k

=3．然后将k²-2k+

3

k2+1

变形为k-1+

1

k

，代入即可求解．

解答：解：∵k是一元二次方程x²-3x+1=0的一个根，
∴k²-3k+1=0，
∴k²=3k-1，k²+1=3k．
设方程的另一根为x₂，由根与系数的关系可得
k+x₂=3，k•x₂=1，
∴x₂=

1

k

，k+

1

k

=3．
∴k²-2k+

3

k2+1

=3k-1-2k+

3

3k

=k-1+

1

k

=3-1=2．

点评：此题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及代数式的求值，利用了整体代入的数学思想，其中方程的解为：能使方程左右两边相等的未知数的值．