Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²+（m+2）x+2过点（2，4），且与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D的坐标为（2，0），连接CA，CB，CD．
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接DP交BC于点E．
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出点E的坐标；
②连接CP，当△CDP的面积最大时，求点E的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）把点（2，4）代入抛物线解析式计算即可求出m的值，然后求出点A、B、C的坐标，过点B作BM⊥CD交CD的延长线于M，然后求出∠CDO=∠BDM=45°，利用勾股定理列式分别求出CD、DM、BM，再根据锐角的正切相等证明即可；
（2）①利用勾股定理列式求出BC，再分BE=DE时，利用等腰三角形三线合一的性质求解，BE=BD时，利用∠OBC的正弦和余弦求解；
②根据抛物线解析式设出点P的坐标，过点P作x轴的垂线，垂足为F，交CD的延长线于点Q，再求出直线CD的解析式，然后写出点Q的坐标，再根据S_△CDP=S_△CPQ-S_△DPQ列式整理，然后利用二次函数的最值问题求出点P的坐标，利用待定系数法求出直线PD的解析式，联立直线PD、BC的解析式，求解即可得到点E的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=mx²+（m+2）x+2过点（2，4），
∴m•2²+2（m+2）+2=4，
解得m=-

1

3

，
∴抛物线解析式为y=-

1

3

x²+

5

3

x+2，
令y=0，则-

1

3

x²+

5

3

x+2=0，
整理得，x²-5x-6=0，
解得x₁=-1，x₂=6，
令x=0，则y=2，
∴A（-1，0），B（6，0），C（0，2），
过点B作BM⊥CD交CD的延长线于M，
在Rt△DOC中，∵OC=OD=2，
∴∠CDO=∠BDM=45°，CD=2

2

，
在Rt△BMD中，∵BD=6-2=4，
∴DM=BM=4×

2

2

=2

2

，
在Rt△CMB中，tan∠BCM=

BM

CM

=

2 2

2 2 +2 2

=

1

2

，
又∵tan∠ACO=

AO

CO

=

1

2

，
∴∠ACO=∠BCD；

（2）①由勾股定理得，BC=

22+62

=2

10

，
BE=DE时，点E的横坐标为6-

1

2

×（6-2）=4，
点E的纵坐标是

1

2

×（6-2）×

2

6

=

2

3

，
所以，点E₁（4，

2

3

）；
BE=BD时，点E的横坐标为6-（6-2）×

6

2 10

=6-

6 10

5

，
点E的纵坐标为（6-2）×

2

2 10

=

2 10

5

，
所以，点E₂（6-

6 10

5

，

2 10

5

），
综上所述，点E₁（4，

2

3

）或E₂（6-

6 10

5

，

2 10

5

）时，△BDE是等腰三角形；

②设P（x，-

1

3

x²+

5

3

x+2），
过点P作x轴的垂线，垂足为F，交CD的延长线于点Q，
则直线CD的解析式为y=-x+2，
∴点Q（x，-x+2），
S_△CDP=S_△CPQ-S_△DPQ，
=

1

2

PQ•OF-

1

2

PQ•DF，
=

1

2

PQ•OD，
∵OD=2，
∴S_△CDP=PQ=-

1

3

x²+

5

3

x+2-（-x+2）=-

1

3

x²+

8

3

x（0＜x＜6），
∵S=-

1

3

x²+

8

3

x=-

1

3

（x-4）²+

16

3

，
∴当x=4时，△CDP的面积最大，
此时，-

1

3

x²+

5

3

x+2=-

1

3

×4²+

5

3

×4+2=

10

3

，
∴点P（4，

10

3

），
设直线PD的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴

4k+b= 10 3 2k+b=0

，
解得

k= 5 3 b=- 10 3

，
∴直线PD的解析式为y=

5

3

x-

10

3

，
直线BC的解析式为y=-

1

3

x+2，
联立

y=- 1 3 x+2 y= 5 3 x- 10 3

，
解得

x= 8 3 y= 10 9

，
所以，点E的坐标为（

8

3

，

10

9

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，锐角三角函数，等腰三角形的性质，三角形的面积，二次函数的最值问题，联立两函数解析式求交点坐标，（2）①难点在于要分情况讨论，（2）②根据三角形的面积等于两个三角形的面积的差列式整理是解题的关键．