Question

如图，四边形ABCD，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为

1. A.
   3
2. B.
   4
3. C.
   5
4. D.
   6

Answer 1

C
分析：由∠BMD=∠BMA+∠AMD=∠C+∠CDM，∠B=∠AMD=∠C=45°，可证得△ABM∽△MCD，然后由相似等于相似三角形对应边成比例，即可求得MC与BM的值，然后延长BA与CD交于点E，由勾股定理，即可求得AD的长．
解答：解：∵∠BMD=∠BMA+∠AMD=∠C+∠CDM，
∵∠B=∠AMD=∠C=45°，
∴∠BMA=∠CDM，
∴△ABM∽△MCD，
∴，
∵M为BC边的中点，
∴MC=BM，
∵AB=8，CD=9，
∴BM=MC=6，
∴BC=12，
延长BA与CD交于点E，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠E=90°，BE=CE，
∴BE=CE=12，
∴AE=BE-AB=4，DE=CE-CD=3，
在Rt△AED中，AD=5．
故选C．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形外角的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．