Question

如图，四边形ABCD是正方形，点F在CD上，点O是BF的中点，以BF为直径的半圆与AD相切于点E．
（1）求证：点E是AD的中点；
（2）设BF=5，求正方形ABCD的边长．

Answer 1

（1）证明：连接OE，
∵以BF为直径的半圆与AD相切于点E，
∴OF⊥AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，
∴OE∥AB∥DF，
∵OB=OF，
∴AE=DE，
即点E是AD的中点；

（2）解：设正方形ABCD的边长为x，
则AB=BC=CD=AD=x，
∵BF=5，
∴OE=，
∵OE=（AB+DF），
∴DF=5-x，
∴CF=CD-DF=2x-5，
在Rt△BCF中，BF²=BC²+CF²，
即5²=x²+（2x-5）²，
解得：x=4或x=0（舍去），
∴正方形ABCD的边长为4．
分析：（1）首先连接OE，由切线的性质，易证得OE∥AB∥DF，由于OB=OF，即可证得点E是AD的中点；
（2）首先设正方形ABCD的边长为x，根据梯形中位线的性质，可表示出DF的长，即而表示出CF的长，由勾股定理即可求得方程：5²=x²+（2x-5）²，解此方程即可求得答案．
点评：此题考查了切线的性质、梯形的中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．