Question

2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinA=$\frac{24}{25}$，点D在AB边上以每秒1个单位长度的速度从点A向点B方向运动（点D不与点A，B重合），DE∥BC交AC于点E，点F在线段EC上，且EF=$\frac{1}{4}$AE，以DE、EF为邻边作?DEFG，连接BG．设运动时间为t秒．
（1）AC边上的高等于$\frac{48}{5}$，EF=$\frac{1}{4}$t（用含t的式子表示）；
（2）△DBG的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）如果△DBG是等腰三角形，求t的值．

Answer 1

分析 （1）作BH⊥AC于点H，在直角△ABH中利用三角函数即可求解，证明三角形ADE是等腰三角形，则AE=AD=t，则EF即可求得；
（2）△BDG中已知BD=10-t和DG=EF，而∠BDG=∠A，利用三角形的面积公式即可求解，然后利用函数的性质求得最值；
（3）当△DBG是等腰三角形时，BD=DG，即可列方程求得t的值．

解答 解：（1）作BH⊥AC于点H．
在直角△ABH，∵sinA=$\frac{BH}{AB}$，
∴BH=AB•sinA=10×$\frac{24}{25}$=$\frac{48}{5}$．
∵AB=AC，DE∥BC，
∴AE=AD=t，
又∵EF=$\frac{1}{4}$AE，
∴EF=$\frac{1}{4}$t．
故答案是：$\frac{48}{5}$，$\frac{1}{4}$t；
（2）∵四边形DEFG是平行四边形，
∴DG=EF=$\frac{1}{4}$t，
又∵DG∥AC，
∴∠BDG=∠A，
∴S=$\frac{1}{2}$BD•DG•sin∠DBG=$\frac{1}{2}$（10-t）•$\frac{1}{4}$t•$\frac{24}{25}$，即S=-$\frac{3}{25}$t²+$\frac{6}{5}$t，
当t=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{\frac{6}{5}}{\frac{6}{25}}$=5时，S最大，最大值是-$\frac{3}{25}×25+\frac{6}{5}×5$=3．
（3）∵sinA=$\frac{24}{25}$，
∴cosA=$\frac{7}{25}$，
∴直角△ABH中，AH=AB•cosA=10×$\frac{7}{25}$=$\frac{14}{5}$，
∴CH=AC-AH=10-$\frac{14}{5}$=$\frac{36}{5}$．
在直角△BCH中，BC=$\sqrt{B{H}^{2}+C{H}^{2}}$=12．
作AM⊥BC于点M，NH⊥BC于H．延长FG交AB于N．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BH=$\frac{1}{2}$BC•AM，
∴AM=$\frac{AC•BH}{BC}$=8．
∵△ABC∽△DNG，
∴$\frac{NG}{BC}$=$\frac{DN}{AB}$，即$\frac{NG}{12}$=$\frac{\frac{1}{4}t}{10}$，
∴NG=$\frac{3}{10}$t．
∵△ABM∽△NBH，
∴$\frac{BN}{AB}$=$\frac{NH}{AM}$=$\frac{BH}{BM}$，即$\frac{10-t-\frac{1}{4}t}{10}$=$\frac{NH}{8}$=$\frac{BH}{6}$，
∴NH=8-t，BH=6-$\frac{3}{4}$t．
则BG=$\sqrt{（6-\frac{3}{4}t+\frac{3}{10}t）^{2}+（8-t）^{2}}$=$\sqrt{（6-\frac{9}{20}t）^{2}+（8-t）^{2}}$．
当△DBG是等腰三角形时，BD=DG，10-t=$\frac{1}{4}$t，解得：t=8．
当BD=BG时，（6-$\frac{9}{20}t$）²+（8-t）²=（10-t）²，
解得：t=0（舍去）或$\frac{560}{81}$；
当BG=DG时，（6-$\frac{9}{20}t$）²+（8-t）²=（$\frac{1}{4}$t）²，
此时方程无解．
则当t=8或$\frac{560}{81}$时，△DBG是等腰三角形．

点评 本题考查了二次函数的性质，以及平行四边形的性质和三角形的面积公式，求得S关于t的函数解析式是关键．