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    在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．过点B作直线EF⊥BC，点P为线段AB上一动点（与点A，B均不重合），过点P作MN∥BC并交AC于点M，交EF于点N，作PD⊥PC，交直线EF于点D．
    （1）若点D在线段NB上（如图1）求证：△PCM≌△DPN；
    （2）若点D在线段NB延长线上（如图2）且BP=BD，求AP的长；
    （3）设AP=x，且P、C、D、B为顶点的四边形的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式．

    【答案】分析：（1）易知四边形MCBN是矩形，△PNB是等腰直角三角形．矩形的对边MC=NB．等腰直角△PNB的两直角边PN=NB，即PN=CM；然后根据同角的余角相等证得∠MCP=∠NPB；最后由全等三角形的判定定理ASA证得△PCM≌△DPN；
    （2）易知四边形MCBN是矩形，△PNB、△AMP是等腰直角三角形．根据全等三角形（△MCP≌△NDP）的对应边相等、勾股定理来求线段AP的长度．
    （3）需要分类讨论：若点D在线段NB上（如图1），写出y与x的函数关系式；若点D在线段NB延长线上（如图2），写出y与x的函数关系式．
    解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，EF⊥BC，
    ∴AC∥EF．
    又∵MN∥BC，
    ∴四边形MCBN是矩形，
    ∴∠PMC=∠DNP=90°，MC=NB．
    ∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
    ∴∠CBA=∠CAB=45°．
    ∴∠PBN=∠NPB=45°，
    ∴NP=NB．
    ∴MC=NP．
    又∵PD⊥PC，
    ∠MCP=∠DPN（同角的余角相等）．
    在△PCM与△DPN中，，
    ∴△PCM≌△DPN（ASA）；

    解：（2）∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．
    ∴AB=．
    同（1）：四边形MCBN是矩形，△PCM≌△DPN（ASA），则MC=NB，MP=ND．
    ∵∠A=∠PBN=45°，
    ∴∠MPB=∠A=45°，∠PBN=∠BPN=45°，
    ∴AM=PM，PN=NB，
    ∴AP=AM，BP=BN=MC．
    ∵BP=BD，
    ∴ND=NB+BD=MC+MC=MP=AM，即1-AM+（1-AM）=AM，
    解得，AM=，
    ∴AP=AM=1；

    （3）①若点D在线段NB上（如图1），S四边形PCBD=S矩形MCBN-2S△PMC=1×（1-x）-2××（1-x）×x=x2x+1，即y=x2x+1；
    ②若点D在线段NB延长线上（如图2），连接CD．
    S四边形PCBD=S梯形MCDN-S△PMC-S△PNB=（MC+AM）•BC-AM•MC-MC•MC=×1×1-×
    x×（1-x）-（1-x）（1-x）=x，即y=x．

    点评：本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点．解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解．
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    （3）是否存在点Q，使得△AQM、△APQ和△APM这三个三角形中一定有两个三角形相似？若存在请求出AQ的长；若不存在请说明理由．

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