Question

7．如图，点P（x，y₁））与Q（x，y₂）分别是两个函数图象C₁与C₂上的任一点．当a≤x≤b时，有-1≤y₁-y₂≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y₁）与Q（x，y₂）分别是两个函数y=3x+1与y=2x-1图象上的任一点，当-3≤x≤-1时，y₁-y₂=（3x+1）-（2x-1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在-3≤x≤-1上的性质，得到该函数值的范围是-1≤y≤1，所以-1≤y1-y2≤1成立，因此这两个函数在-3≤x≤-1上是“相邻函数”．
（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在-2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；
（2）若函数y=$\frac{2}{x}$与y=-2x+a在1≤x≤2上是“相邻函数”，请求出a的最大值与最小值．
（3）若函数y=x²-（2a-1）x与y=x-2在1≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）判定函数y=3x+2与y=2x+1在-2≤x≤0上为“相邻函数”，利用给定的证明过程，将y₁=3x+1、y₂=2x-1替换成y₁=3x+2、y₂=2x+1即可得出结论；
（2）根据一次函数与反比例函数的单调性，分别找出当x=1、x=2时，y₁、y₂的值，再根据“相邻函数”的定义即可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论；
（3）将两函数解析式做差，找出y₁-y₂=（x-a）²+2-a²，结合二次函数的性质找出其最大值与最小值，再根据“相邻函数”的定义即可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．

解答 解：（1）是“相邻函数”．
  理由如下：
y₁-y₂=（3x+2）-（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1．
∵y=x+1在-2≤x≤0上随着x的增大而增大，
∴当x=0时，函数有最大值1，当x=-2时，函数有最小值-1，即-1≤y≤1．
∴-1≤y₁-y₂≤1．
即函数y=3x+2与y=2x+1在-2≤x≤0上是“相邻函数”；

（2）反比例函数y=$\frac{2}{x}$在1≤x≤2上是减函数，
当x=1时，y₁=2；当x=2时，y₁=1，
当x=1时，y₂=-2+a；当x=2时，y₂=-4+a．
∵-1≤y₁-y₂≤1，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{-1≤4-a≤1}\\{-1≤5-a≤1}\end{array}\right.$，
解得：4≤a≤5．
∴若函数y=$\frac{2}{x}$与y=-2x+a在1≤x≤2上是“相邻函数”，a的最大值为5，最小值为4；

（3）y₁-y₂=[x²-（2a-1）x]-（x-2）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²．
∵y=x²-（2a-1）x与y=x-2在1≤x≤2上是“相邻函数”，
∴|y₁-y₂|≤1．
由二次函数的性质可知：
当x=1时，y₁-y₂有最大值3-2a，
当x=a时，y₁-y₂有最小值2-a²．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤3-2a≤1}\\{-1≤2-{a}^{2}≤1}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{5}{4}$≤a≤$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质以及二次函数的最值问题，解题的关键是：
（1）构造函数y=x+1，利用一次函数的性质解决问题；
（2）由“相邻函数”的性质得出关于a的一元一次不等式．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，结合给定的新定义，找出关于函数系数a的方程（不等式或不等式组）是关键．
（3）由“相邻函数”的性质得出关于a的一元一次不等式．