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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，二次函数y=x2经过三点A、B、O，其中O为坐标原点．点A的坐标为（1，1），∠BAO=90°，AB交y轴于点C．
    （1）求点C、点B坐标；
    （2）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A、B两点，且对称轴经过Rt△BAO的外接圆圆心，求该二次函数解析式；
    （3）若二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过A、B两点，且与x轴有精英家教网两个不同的交点，试求出满足此条件的一个二次函数的解析式．
    分析：（1）可先求直线AB的解析式，然后再求C、B的坐标．由于直线AB与直线OA垂直，因此两直线的斜率的乘积为-1，先求出直线OA的解析式，然后将A点的坐标代入直线AB中即可求出直线AB的解析式．
    （2）直角三角形BAO的外接圆的圆心必为OB的中点，因此抛物线的对称轴方程应该是B点横坐标的一半，然后在讲A、B坐标代入抛物线的解析式中即可求出二次函数的解析式．
    （3）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，用a替换掉b、c，然后根据抛物线与x轴有两个交点，那么y=0时方程的△＞0，据此可求出a的取值范围，据此可判断出二次函数的解析式．
    解答：解：（1）易知直线OA的解析式为y=x，由于OA⊥AB，设直线AB的解析式为y=-x+h．
    则有：-1+h=1，h=2，
    ∴直线AB的解析式为y=-x+2．
    ∴C（0，2）．
    由于B是直线AB与抛物线y=x2的交点，
    则有
    y=x2
    y=-x+2
    ，
    解得
    x=1
    y=1
    ，
    x=-2
    y=4
    ，
    ∴B（-2，4）．

    （2）由题意可知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1．
    则有：
    a+b+c=1
    4a-2b+c=4
    -
    b
    2a
    =-1
    ，
    解得
    a=-1
    b=-2
    c=4
    ，
    ∴y=-x2-2x+4．

    （3）根据题意有：
    a+b+c=1
    4a-2b+c=4
    ，
    解得
    b=a-1
    c=2-2a
    ，
    ∴y=ax2-（a-1）x+2-2a，
    由于抛物线与x轴有两个不同交点，
    令y=0，ax2-（a-1）x+2-2a=0，
    △=（a-1）2-4a（2-2a）=9a2-10a+1=（9a-1）（a-1）＞0，且a＞0
    ∴0＜a＜
    1
    9
    或a＞1，
    ∴二次函数的解析式为y=2x2-x-2（答案不唯一）．
    点评：本题主要考查了一次函数与二次函数解析式的确定、函数图象交点以及一元二次方程根与系数的关系等知识点．
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    精英家教网如图，二次函数的图象经过点D（0，
    7
    9
    		3
    ），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．
    （1）求二次函数的解析式；
    （2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
    （3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．
    （1）求二次函数与一次函数的解析式；
    （2）如果一次函数图象与y相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，∠CDO=∠OED，求点D的坐标．
    精英家教网

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    某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，如图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
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    （2）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；
    （3）从第几个月起公司开始盈利？该月公司所获利润是多少万元？

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    如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于两个点，根据图象回答：（1）b
    ＞
    ＞
    0（填“＞”、“＜”、“=”）；
    （2）当x满足
    x＜-4或x＞2
    x＜-4或x＞2
    时，ax2+bx+c＞0；
    （3）当x满足
    x＜-1
    x＜-1
    时，ax2+bx+c的值随x增大而减小．

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