Question

8．如图，△ABC内接于⊙O，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，连接MN，若AB=4，AC=6，∠A=60°．设MN=m，则最简二次根式$\sqrt{{m}^{2}+1}$代入m值后的结果是（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$
• D． $\frac{1}{2}\sqrt{2}$

Answer 1

分析 过C作CD⊥AB于D，解直角三角形得到CD=ACsin∠A=6sin60=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，AD=ACcos60°=6×$\frac{1}{2}$=3根据勾股定理得到BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
根据三角形的中位线的性质得到m=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{7}$=$\sqrt{7}$，于是得到结论．

解答 解：过C作CD⊥AB于D，
∵AC=6，∠A=60°，
∴CD=ACsin∠A=6sin60=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，AD=ACcos60°=6×$\frac{1}{2}$=3，
∴DB=AB-AD=1，
∴BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∵OM⊥AB，ON⊥AC，
∴AM=MB，AN=NC，
∴MN=m=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{7}$=$\sqrt{7}$，
∴$\sqrt{{m}^{2}+1}$=$\sqrt{（\sqrt{7}）^{2}+1}$=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
故选B．

点评 本题考查了垂径定理，三角形的中位线的性质，二次根式的化简，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．