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        已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。

    （1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；

    （2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．

        ①（4分）猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；

        ②（6分）拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。

    解：（1）证明：如图I，分别连接OE、0F

     ∵四边形ABCD是菱形

     ∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC

      ∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．

       ∠ADO=∠ADC=×60°=30°

      又∵E、F分别为DC、CB中点

       ∴OE=CD，OF=BC，AO=AD

      ∴0E=OF=OA   ∴点O即为△AEF的外心。

      （2）①猜想：外心P一定落在直线DB上。

      证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J

    ∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°

    ∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°

    ∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，

    ∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA

    ∴△PIE≌△PJA， ∴PI=PJ

    ∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上。

    ②为定值2.

    当AE⊥DC时．△AEF面积最小，

    此时点E、F分别为DC、CB中点．

    连接BD、AC交于点P，由（1）

    可得点P即为△AEF的外心

    解法一：如图3．设MN交BC于点G

    设DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，则 CN=

    ∵BC∥DA ∴△GBP∽△MDP．∴BG=DM=x．

    ∴

    ∵BC∥DA，∴△GBP∽△NDM

    ∴，∴

    ∴

    ∴，即

    其它解法略。

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    解答问题：
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