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    （2012•台州模拟）如图1，矩形OABC的顶点O为原点，点E在AB上，把△CBE沿CE折叠，使点B落在OA边上的点D处，点A、D坐标分别为（10，0）和（6，0），抛物线过点C、B．
    （1）求C、B两点的坐标及该抛物线的解析式；
    （2）如图2，长、宽一定的矩形PQRS的宽PQ=1，点P沿（1）中的抛物线滑动，在滑动过程中PQ∥x轴，且RS在PQ的下方，当P点横坐标为-1时，点S距离x轴个单位，当矩形PQRS在滑动过程中被x轴分成上下两部分的面积比为2：3时，求点P的坐标；
    （3）如图3，动点M、N同时从点O出发，点M以每秒3个单位长度的速度沿折线ODC按O→D→C的路线运动，点N以每秒8个单位长度的速度沿折线OCD按O?C?D的路线运动，当M、N两点相遇时，它们都停止运动．设M、N同时从点O出发t秒时，△OMN的面积为S．①求出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围：②设S是①中函数S的最大值，那么S=______．

    【答案】分析：（1）本题可根据折叠的性质进行求解．根据折叠的性质可知：CD=BC=OA，可在直角三角形OCD中用勾股定理求出OC的长，即可求出C、B的坐标，将这两点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．
    （2）先根据x=-1时，P的纵坐标求出PS的长即矩形的长，然后根据矩形被x轴分成上3下2两部分，可求出此时P点的纵坐标，代入抛物线中即可求出P点的坐标．
    （3）一：本题要分三种情况进行讨论：
    ①当0≤t≤1时，此时N在OC上．M在OD上．可用t表示出OM、ON的长，进而可求出S、t的函数关系式．
    ②当1＜t≤2时，此时N在CD上，M在OD上．过N作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，用ND的长求出△OMN的高，而后同①．
    ③当2＜t≤时，此时，N、M均在CD上．先用t表示出NM的长，然后过O作OH⊥CD于H，在直角三角形OCH（或ODH）中，用OC的长和∠OCD的正弦值求出△OMN中NM边上的高．
    二：根据一的函数的性质及自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值．
    解答：解：（1）∵A（10，0），D（6，0），
    ∴OA=10，OD=6，
    又∵四边形OCBA为矩形，
    ∴∠COA=∠BAO=90°OC=AB=BC=OA=10．
    又∵△CED为△CBE沿CE翻折得到的，
    ∴CD=CB=10，
    ∴在Rt△COD中，由勾股定理得：OC==8．
    ∴C（0，8），B（10，8），
    又∵C、B均在y=x2+bx+c上，
    ∴，
    ∴，
    ∴y=x2-2x+8；

    （2）当x=-1时，y=×（-1）2-2×（-1）+8=，
    ∴此时P（-1，），
    又∵S距离x轴上方个单位，
    ∴PS=-=8，
    ∴矩形PQRS的长为8，宽为1，
    设PQRS在下滑过程中交x轴分别于G、H两点．
    则由题意知：，
    ∴，
    ∴PG=PS=．
    故P的纵坐标为，
    ∴设P（a，），则a2-2a+8=，
    ∴a1=4，a2=6，（1分）
    ∴P（4，）或（6，）；

    （3）∵点M的速度是每秒3个单位长度，点N的速度是每秒8个单位长度，
    ∴3t+8t=6+8+10，
    解得t=，
    ①当0≤t≤1时，此时N在OC上．M在OD上．
    ∴S△OMN=OM•NH=×3t×8t=12t2，
    此时，当t=1时，S大=12，
    ②当1＜t≤2时，此时N在CD上，M在OD上．
    则DN=18-8t，
    过N作NH⊥OD于H，
    则=sin∠CDO==，
    ∴NH=DN=（18-8t）=（9-4t）．
    ∴S△OMN=OM•ON，
    =×（9-4t）×3t，
    =-t2+t，
    =-（t-）2+，
    ∴当t=时，S大==12.15．
    ③当2＜t≤时，此时，N、M均在CD上，
    则MN=24-11t，
    过O作OH⊥CD于H，
    则由等面积得：OH=，
    ∴S△OMN=OH•MN=××（24-11t）=-t+，
    此时当t=2时，S大=．
    点评：本题主要考查了矩形的性质、图形的折叠变换、图形面积的求法以及二次函数的应用等知识．
    综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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