Question

19．如图，经过原点的抛物线y=-x²+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（点B，点C不重合）．连接CB，CP．
（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；
（2）当m＞1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？
（3）当m＞1时过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把m=3代入得到抛物线的解析式，然后令y=0得：-x（x-6）=0，从而可求得点A的坐标，利用抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为x=m，然后利用抛物线的对称性可得到BC的长；
（2）过点C作AH⊥x轴，垂足为H．先求得点B和点C的坐标，由点B、点P和点C的坐标可得到PB、BC的长，然后由点C和点A的坐标可求得CH，AH的长，接下来，再证明△ACH∽△PCB，最后依据相似三角形的性质列方程求解即可；
（3）当m＞1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1．①若点E在x轴上时，先证明△BPC≌△MEP，依据全等三角形的性质可得到BC=PM，然后依据BC=PM可得到关于m的方程，从而可求得m的值，故此可得到E的坐标；②若点E在y轴上，过点P作PN⊥y轴与点N．然后证明△BPC≌△NPE，则BP=NP=OM=1，则m-1=1，可求得m=2，于是可求得点E的坐标．

解答 解：（1）当m=3时，y=-x²+6x=-x（x-6）．
令y=0得：-x（x-6）=0，解得x=0或x=6，
∴点A的坐标为（6，0）．
∴抛物线的对称轴为直线x=3．
∵B、C关于直线x=3对称，
∴BC=2×（3-1）=4．

（2）如图1所示：过点C作AH⊥x轴，垂足为H．

∵抛物线y=-x²+2mx的对称轴为x=m，
∴点B和点C直线x=m对称．
∵当x=1时，y=2m-1，
∴点B的坐标为（1，2m-1）．
∴PB=m-1．
∵点B与点C关于直线x=m对称，
∴C（2m-1，2m-1）．
∴BC=2m-2．
∴H（2m-1，0）．
∴AH=1，CH=2m-1．
∵∠ACH=∠PCB=90°，
∴∠ACH=∠BCP．
又∵∠AHC=∠PCB=90°，
∴△ACH∽△PCB．
∴$\frac{AH}{CH}$=$\frac{PB}{BC}$，即$\frac{1}{2m-1}$=$\frac{m-1}{2（m-1）}$，
∴m=$\frac{3}{2}$．

（3）当m＞1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1．
①若点E在x轴上时，如图2所示：

∵∠CPE=90°，
∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，
∴∠BPC=∠MEP．
在△BPC和△MEP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PBC=∠PME=90°}\\{∠BPC=∠MEP}\\{PC=EP}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△MEP．
∴BC=PM．
∴2（m-1）=m，解得m=2，
∴E（2，0）．
若点E在y轴上，如图3所示：过点P作PN⊥y轴与点N．

∵∠EPC=90°，
∴∠EPB+∠BPC=90°．
∵∠NPE+∠EPB=90°，∠NEP=∠EPB，
∴∠BPC=∠EPN．
在△EPN和△CPB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BPC=∠EPN}\\{∠PNE=∠PBC=90°}\\{PE=PC}\end{array}\right.$
∴△BPC≌△NPE．
∴BP=NP=OM=1，
∴m-1=1，
∴m=2
∴E（0，4）．
综上所述，当m=2时，点E的坐标为（2，0）或（0，4）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定，依据全等三角形的性质得到相关线段的长度相等，从而列出关于m的方程是解题的关键．