Question

已知抛物线y=x²+2mx+n的顶点在直线y=-

1

2

x+

1

2

上，且过点（1，3），求这个抛物线的解析式．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：把抛物线解析式写成顶点式形式，求出顶点坐标，然后代入直线解析式得到关于m、n的方程，再把点（1，3）代入抛物线解析式并用m表示出n，再联立两方程消掉n得到关于m的一元二次方程求解得到m，再求出相应的n值，最后写出抛物线的解析式即可．

解答：解：∵y=x²+2mx+n=（x+m）²-m²+n，
∴抛物线的顶点坐标为（-m，-m²+n），
∴-

1

2

×（-m）+

1

2

=-m²+n，
即2m²+m-2n+1=0①，
∵抛物线过点（1，3），
∴2m+n+1=3，
∴n=-2m+2②，
②代入①得，2m²+5m-3=0，
∴（2m-1）（m+3）=0，
∴2m-1=0，m+3=0，
解得m₁=

1

2

，m₂=-3，
当m₁=

1

2

时，n=-2×

1

2

+2=1，
当m₂=-3时，n=-2×（-3）+2=8，
∴抛物线的解析式为y=x²+x+1或y=x²-6x+8．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，得到两个关于m、n的方程是解题的关键，也是本题的难点．