Question

如图，△ABC与△DEC是两个全等的直角三角形，∠ACB=∠CDE=90°，∠CAB=∠DCE，AB=4，BC=2，△DEC绕点C旋转，CD、CE分别与AB相交于点F、G（都不与A、B点重合），设BG=x．回答下列问题：
（1）设CG=y₁，请探究y₁与x的函数关系，并直接写出y₁的最小值；
（2）设AF=y₂，请探究y₂与x的函数关系．

Answer 1

分析：（1）过点C作CH⊥AB于点H，首先利用勾股定理求出AC的长，再利用三角形的面积为定值即可求出CH的长，进而得到BH的长，在直角三角形CHG中利用勾股定理即可得到究y₁与x的函数关系，由函数关系式可求出y₁的最小值；
（2）易证△ACG∽△CGF，由相似三角形的性质可得

FG

CG

=

CG

AG

，即CG²=AG•FG，再用含有x和y2的代数式表示AG和FG的长，代入整理即可得到y₂与x的函数关系．

解答：解：（1）过点C作CH⊥AB于点H，
在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=4，BC=2，
∴AC=

AB2-BC2

=2

3

，
∵

AC•BC

2

=

CH•AB

2

，
∴CH=

AC•BC

AB

=

2 3 ×2

4

=

3

，
∴BH=

BC2-CH2

=1，
∵BG=x，
∴HG=1-x，
在Rt△CHG中，
CG²=CH²+HG²，
即y₁²=（

3

）²+（1-x）²
∴y1=

(x-1)2+3

，
∴y₁的最小值是当x=1时是

3

；

（2）∵∠CAB=∠DCE，∠FGC=∠FGC，
∴△ACG∽△CGF，
∴

FG

CG

=

CG

AG

，
即CG²=AG•FG，
∵BG=x，AB=4，AF=y₂，
∴AG=4-x，FG=4-x-y₂，
∴3+（1-x）²=（4-x）（4-x-y₂），
∴y₂=

6x-12

x-4

．

点评：本题考查了直角三角形的性质以及勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质，题目的综合性很强，对学生的解题能力要求很高，题目难度中等．