Question

（2013•翔安区一模）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，DF 平分∠ADC交线段AE于点F．
（1）如图1，若AE=AD，∠ADC=60°，请探索线段CD与AF+BE之间所满足的数量关系；
（2）如图2，若AE=AD，则你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，对你的结论加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出BE=

1

2

AB，证△ADF≌△EAB，推出AF=BE，即可得出答案．
（2）延长FA至G，使AG=BE，证△GAD≌△BEA，推出DG=AB，求出GD=GF，即可推出答案．

解答：解：（1）CD=AF+BE，
理由是：如图，∵∠ADC=60°，DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF=30°，
∵平行四边形ABCD，
∴∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，AB=CD，
∵AE⊥BC，
∴∠DAF=∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°=∠ADF，
∴BE=

1

2

AB=

1

2

CD，
在△ADF和△EAB中，

∠ADF=∠BAE AD=AE ∠DAF=∠AEB

∴△ADF≌△EAB（ASA），
∴AF=BE=

1

2

CD，
∴CD=AF+BE．

（2）结论仍然成立．
证明：如图，延长FA至G，使AG=BE，
在△DAG和△AEB中，

AD=AE ∠GAD=∠AEB AG=BE

，
∴△DAG≌△AEB（SAS），
∴∠GDA=∠BAE，GD=AB=CD，
又∵平行四边形ABCD中，AE⊥BC，
∴∠BAE+∠ADC=90°，
∴∠GDF=90°-∠CDF，
在Rt△DAF中，∠AFD=90°-∠ADF，
∴∠GFD=∠GDF，
∴GF=GD，
∴GD=AF+AG，
∴CD=AF+BE．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．