Question

AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD与⊙O相切于点D，C在⊙O上，且PC=PD．
（1）判断PC与⊙O的位置关系，并证明你判断．
（2）过A点作AE⊥PC于E，连接BC，若AE=4，⊙O的半径为3，求cos∠APE的值．

Answer 1

解：（1）PC与⊙O相切．
证明：连接OC，OD，
∵PC=PD，OC=OD，OP=OP，
∵△OCP≌△ODP，
∴∠OCP=∠ODP，
又∵PD是⊙O的切线，
∴∠ODP=90°，
∴∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切线；

（2）连接AC，AE∥OC，AE交⊙O于F，
∵∠EAC=∠OCA=∠CAB，又∠AEC=∠ACB=90°，
∴△ACE∽△ABC，
∴CA：AB=AE：AC，AC²=AB•AE=6×4=24，
EC²=AC²-AE²=8，EC=，
设AE交⊙O于点F，连BF，则BF=2CE=，cos∠APE=cos∠ABF==．
分析：（1）连接OC、OD，由于PC=PD，OC=OD，OP=OP，利用SSS可证△OCP≌△ODP，于是∠OCP=∠ODP，而DP是⊙O的切线，那么∠ODP=90°，从而有∠OCP=90°，因此PC是⊙O的切线；
（2）连接AC，易证AE∥OC，那么∠EAC=∠OCA=∠CAB，又由于∠AEC=∠ACB=90°，利用AA可证△ACE∽△ABC，可得比例线段，CA：AB=AE：AC，即AC²=24，于是EC²=8，即EC=2，设AE交⊙O于点F，连BF，则BF=2CE=，易求cos∠APE=cos∠ABF==．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角函数值、平行线的性质．