Question

直线与两坐标轴交于A、B两点，以AB为斜边在第二象限内作等腰Rt△ABC，的图象过点C，则k=________．

Answer 1

-9
分析：过C点作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，先确定A点坐标为（-4，0），B点坐标为（0，2），再利用勾股定理计算出AB=2，然后根据等腰三角形的性质得到∠ACB=90°，CA=CB=AB=，
由于∠DCE=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠BCE，易证得Rt△ACD≌Rt△BCE，则CD=CE，得到四边形CDOE为正方形，并且正方形CDOE的面积=四边形CAOB的面积，再计算出四边形CAOB的面积=S_△CAB+S_△OAB=CA•CB+OA•OB=9，则CD=CE=3，可确定C点坐标为（-3，3），然后把C点坐标代入反比例函数解析式即可得到k的值．
解答：如图，过C点作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，
令x=0，y=2；令y=0，x+2=0，解得x=-4，则A点坐标为（-4，0），B点坐标为（0，2），
在Rt△OAB中，OA=4，OB=2，
∴AB==2，
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，CA=CB=AB=，
而∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE，
∴CD=CE，
∴四边形CDOE为正方形，
∴正方形CDOE的面积=四边形CAOB的面积=S_△CAB+S_△OAB=CA•CB+OA•OB=×+×4×2=9，
∴CD=CE=3，
∴C点坐标为（-3，3），
把C（-3，3）代入y=得k=-3×3=-9．
故答案为-9．
点评：本题考查了反比例函数综合题：运用待定系数法确定反比例函数的解析式；会确定直线与坐标轴的交点坐标；熟练掌握等腰直角三角形和正方形的性质以及勾股定理．