Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，线段AC的垂直平分线交AC于D点，交BC于E点，过点A作BC的平行线交直线ED于F点，连接AE，CF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若AB=10，∠ACB=30°，求菱形AECF的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析; （2）．

【解析】（1）证明：∵ EF垂直平分AC，

∴ FA=FC，EA=EC，

∵ AF∥BC，

∴ ∠1=∠2．

∵ AE=CE，

∴ ∠2=∠3．

∴ ∠1=∠3．

∵ EF⊥AC，

∴ ∠ADF=∠ADE=90°．

∵ ∠1+∠4=90°，∠3+∠5=90°．

∴ ∠4=∠5．

∴ AF=AE．

∴ AF=FC=CE=EA．

∴ 四边形AECF是菱形．

（2）解：∵∠BAC=∠ADF=90°，

∴AB∥FE．

∵AF∥BE，

∴四边形ABEF为平行四边形．

∵AB=10，

∴FE=AB=10．

∵∠ACB=30°，

∴．

∴．