Question

设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N．如果DE=DF，求证：DM=DN．

Answer 1

考点：梅涅劳斯定理与赛瓦定理

专题：

分析：对于三个不同的三角形和对应的直线，应用梅涅劳斯定理，得到相应的三组线段之间比值的乘积是1，把三组比值的乘积相乘，约分整理，得到

DE

EM

•

FN

ND

•

MD

DF

=1，根据DE=DF，约分得到最简形式，得到结果．

解答：证明：对△AMD和直线BEP用梅涅劳斯定理得：

AP

PD

•

DE

EM

•

MB

BA

=1（1）
对△AFD和直线NCP用梅涅劳斯定理得：

AC

CF

•

FN

ND

•

DP

PA

=1（2），
对△AMF和直线BDC用梅涅劳斯定理得：

AB

BM

•

MD

DF

•

FC

CA

=1（3），
（1）（2）（3）式相乘得：

DE

EM

•

FN

ND

•

MD

DF

=1，
又∵DE=DF，
∴

FN•MD

EM•ND

=1，
∴

DM

EM

=

DN

FN

，
∴

DM

DM-DE

=

DN

DN-DE

，
所以DM=DN．

点评：本题考查了梅涅劳斯定理、等量代换、整理比较麻烦的比例式时的方法，是一个基础题，题目的运算量比较大，是一个不常见到的题目．