Question

8、（1）求33除2¹⁹⁹⁸的余数．
（2）求8除7²ⁿ⁺¹-1的余数．

Answer 1

分析：（1）根据2 ⁶，2 ⁷，…2 ¹⁵，与33相除得出余数变化规律，从而求出；
（2）分别求出7 ³-1，7 ⁵-1，…与8相除余数变化规律，从而求出．

解答：解：（1）∵2 ⁶÷33…余31；
2 ⁷÷33…余29；
2 ⁸÷33…余25；
2 ⁹÷33…余17；
2 ¹⁰÷33…余1；
…
2 ¹⁵÷33…余31；
∴每10个循环一次，
∴33除2¹⁹⁹⁸的余数等同于2 ⁸÷33…余25；
∴33除2¹⁹⁹⁸的余数为25；

（2）∵当n=1，7²ⁿ⁺¹-1=7 ³-1，
∴（7 ³-1）÷8…余6，
当n=2，7²ⁿ⁺¹-1=7 ⁵-1，
∴（7 ⁶-1）÷8…余6，
当n=3，7²ⁿ⁺¹-1=7 ⁷-1，
∴（7⁷-1）÷8…余6，
…
8除7²ⁿ⁺¹-1的余数是6．

点评：此题主要考查了同余问题的性质，求余数是同余的基本问题．在这种问题中，先求出与其同余的数是一种基本的解题技巧．