Question

如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上），若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1。
（1）求B点坐标；
（2）求证：ME是⊙P的切线；
（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，
①求△ACQ周长的最小值；
②若FQ=t，S_△ACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式。

Answer 1

解：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n， ∵正方形CDEF面积为1， ∴CD=CF=1， 根据圆和正方形的对称性知OP=PC=n， ∴BC=2PC=2n， 而PB=PE， ∴， 解得n=1（舍去）， ∴BC=OC=2， ∴B点坐标为（2，2）；
（2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0）， ∵A，C在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 即， ∴抛物线的对称轴为x=3，即EF所在直线， ∵C与G关于直线x=3对称， ∴CF=FG=1， ∴FM=FG=， 在Rt△PEF与Rt△EMF中， =2， ∴， ∴△PEF∽△EMF， ∴∠EPF=∠FEM， ∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°， ∴ME与⊙P相切；
（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ则有AQ=A′Q， △ACQ周长的最小值为（AC+A′C）的长， ∵A与A′关于直线x=3对称∴A（0，2），A′（6，2）， ∴（6-2）， 而AC=， ∴△ACQ周长的最小值为； ②当Q点在F点上方时，S=t+1， 当Q点在线段FN上时，S=1-t， 当Q点在N点下方时，S=t-1。