Question

已知a、b均为整数，直线y=ax+b与三条抛物线y=x²+3，y=x²+6x+7和y=x²+4x+5交点的个数分别是2，1，0，若bx²+ay²=6x，求x²+y²的最大值．

Answer 1

分析：把直线解析式与抛物线的解析式联立得到关于x的一元二次方程，然后利用根与系数的关系分别列式得到关于a、b的不等式与方程，把方程变形可得4b=-（a²-12a+8），分别代入不等式组成关于a的不等式组，求解得到a的取值范围，再根据a、b是整数求出a、b的值，代入bx²+ay²=6x并用x表示出y²，再根据非负数的性质求出x的取值范围，再把x²+y²写成关于x的代数式，根据二次函数的增减性求出最大值即可．

解答：解：根据题意得，x²+3=ax+b，
x²+6x+7=ax+b，
x²+4x+5=ax+b，
∵直线与三条抛物线的交点的个数分别是2，1，0，
∴△₁=a²-4×1×（3-b）=a²+4b-12＞0①，
△₂=（6-a）²-4×1×（7-b）=a²-12a+4b+8=0②，
△₃=（4-a）²-4×1×（5-b）=a²-8a+4b-4＜0③，
由②得，4b=-（a²-12a+8）④，
④分别代入①、③得，

a2-(a2-12a+8) -12＞0 a2-8a-4-(a2-12a+8)-4＜0

，
整理得

12a＞20 4a＜12

，
解得

5

3

＜a＜3，
∵a是整数，
∴a=2，
∴4b=-（2²-12×2+8）=12，
解得b=3，
∴3x²+2y²=6x，
整理得，y²=

6x-3x2

2

≥0，
∴6x-3x²≥0，
整理得，3x（x-2）≤0，

x≥0 x-2≤0

或

x≤0 x-2≥0

（无解），
解得0≤x≤2，
设Z=x²+y²，
=x²+

6x-3x2

2

，
=-

1

2

x²+3x，
=-

1

2

（x-3）²+

9

2

，
∴当x≤3时，函数值Z随x的增大而增大，
当x=2时，Z_最大值=-

1

2

（2-3）²+

9

2

=4，
即当x=2时，x²+y²的最大值为4．

点评：本题综合考查了二次函数的性质，根与系数的关系，非负数的性质，二次函数的最值问题，求出a、b的值并把x²+y²的整理成Z关于x的二次函数的形式是解题的关键．