Question

如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B=60度．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为0的三角形），解答下列问题：
（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是

 

秒；
（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是

 

秒；
（3）求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）菱形ABCD的边长为6厘米，∠B=60°，则易证△ABC是等边三角形，边长是6厘米．点P、Q从出发到相遇，即两人所走的路程的和是18cm．设从出发到相遇所用的时间是x秒．列方程就可以求出时间．
（2）当P在AC上，Q在AB上时，AP≠AQ，则一定不是等边三角形，当△APQ是等边三角形时，Q一定在边CD上，P一定在边CB上，若△APQ是等边三角形，则CP=DQ，根据这个相等关系，就可以得到一个关于x的方程，就可以得到x的值．
（3）求y与x之间的函数关系式．应根据0≤x＜3和3≤x＜6以及6≤x≤9三种情况进行讨论．把x当作已知数值，就可以求出y．就可以得到函数的解析式．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC
又∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
因而边长是6．设点P，Q从出发到相遇所用的时间是x秒．
根据题意得到x+2x=18，解得x=6秒．

（2）若△APQ是等边三角形，
此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，
则CP=DQ，即x-6=18-2x，解得x=8；

（3）①当0≤x＜3时，
y=S_△AP1Q1=

1

2

AP1×AQ1×sin60°=

1

2

x2x

3

2

=

3

2

x2．（5分）
②当3≤x＜6时，
y=S_△AP2Q2
=

1

2

AP2×P2Q2
=

1

2

AP2 ×CQ2sin60°
=

1

2

x(12-2x)

3

2

=-

3

2

x2+3

3

x（7分）
③当6≤x≤9时，设P₃Q₃与AC交于点O．
（解法一）
过Q₃作Q₃E∥CB交AC于E，则△CQ₃E为等边三角形．
∴Q₃E=CE=CQ₃=2x-12
∵Q₃E∥CB
∴△COP₃∽△EOQ₃
∴

OC

OE

=

CP3

EQ3

=

x-6

2x-12

=

1

2

∴OC=

1

3

CE=

1

3

（2x-12）
y=S_△AOP3
=S_△ACP3-S_△COP3
=

1

2

CP3×ACsin60°-

1

2

OC×CP3sin60°
=

1

2

(x-6)×6×

3

2

-

1

2

×

1

3

(2x-12)(x-6)×

3

2

=-

3

6

x2+

7 3

2

x-15

3

；
（解法二）
如图，过点O作OF⊥CP₃于点F，OG⊥CQ₃，于点G，
过点P₃作P₃H⊥DC交DC延长线于点H．
∵∠ACB=∠ACD
∴OF=OG
又CP₃=x-6，CQ₃=2x-12=2（x-6），
∴S_△COP3=

1

2

S△COQ3
∴S△COP3=

1

3

S△CP3Q3
=

1

3

×

1

2

×CQ3×P3H
=

1

3

×

1

2

(2x-12)(x-6)×

3

2

=

3

6

(x-6)2

又S_△ACP3=

1

2

CP3×AC×sin60°
=

1

2

(x-6)×6×

3

2

=

3 3

2

（x-6）
∴y=S△AOP3
=S△ACP3-S△OCP3
=

3 3

2

(x-6)-

3

6

(x-6)2
=-

3

6

x2+

7 3

2

x-15

3

（10分）

点评：本题主要考查了利用图形的关系求函数的解析式．注意数形结合是解决本题的关键．