Question

在第一象限内，以

5

为半径的圆⊙M经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）在所给的坐标系中作出⊙M，并求M点的坐标；
（2）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）若D为⊙M上的最低点，E为x轴上的任一点，则在抛物线上是否存在这样的点F，使得以点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说出理由．

Answer 1

分析：（1）根据点A、B的坐标求出AB的长，作AB的垂直平分线交AB于N，根据垂径定理可得AN=

1

2

AB，再求出ON，然后利用勾股定理列式求出MN的长，写出点M的坐标即可；
（2）设点C的坐标为（0，y），利用两点间距离公式列式计算即可求出y的值，从而得到点C的坐标，再设抛物线解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），然后利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（3）先写出点D的坐标（1，1-

5

），再根据平行四边形的对边互相平行可得AE∥DF，然后分①点F在x轴下方，表示出点F的纵坐标，再代入抛物线解析式计算求出点F的横坐标，②点F在x轴上方时，表示出点F的纵坐标，再代入抛物线解析式计算求出点F的横坐标，从而得解．

解答：解：（1）∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=3+1=4，
作AB的垂直平分线交AB于N，则AN=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
∴ON=AN-AO=2-1=1，
根据勾股定理，MN=

AM2-AN2

=

5 2-22

=1，
∴点M的坐标为（1，1），
取MN=1，以点M为圆心，以AM长为半径作⊙M如图所示；

（2）设点C的坐标为（0，y），
则MC=

(1-0)2+(1-y)2

=

5

，
解得y₁=-1，y₂=3，
由图可知，点C在y轴负半轴，
∴点C的坐标为（-1，0），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
则

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-1

，
解得

a= 1 3 b=- 2 3 c=-1

，
所以，抛物线解析式为y=

1

3

x²-

2

3

x-1；

（3）∵D为⊙M上的最低点，
∴点D的坐标为（1，1-

5

），
∵E为x轴上的任一点，以点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴AE∥DF，
①点F在x轴下方，点F的纵坐标与点D的纵坐标相同，为1-

5

，
∵点F在抛物线上，
∴

1

3

x²-

2

3

x-1=1-

5

，
整理得，x²-2x-6+3

5

=0，
△=b²-4ac=4-4（-6+3

5

）=28-12

5

，
∴x=

2± 28-12 5

2×1

=1±

7-3 5

，
∴点F的坐标为F₁（1+

7-3 5

，1-

5

），F₂（1-

7-3 5

，1-

5

），
此时可以分别以AD为平行四边形的边和对角线作一个平行四边形，共有4个平行四边形，
②点F在x轴上方时，点F的纵坐标与点的纵坐标的长度相同，为

5

-1，
∵点F在抛物线上，
∴

1

3

x²-

2

3

x-1=

5

-1，
整理得，x²-2x-3

5

=0，
△=b²-4ac=4-4×（-3

5

）=4+12

5

，
∴x=

2± 4+12 5

2

=1±

1+3 5

，
∴点F的坐标分别为F₃（1+

1+3 5

，

5

-1），F₄（1-

1+3 5

，

5

-1），
此时，以AD为平行四边形的边共可以作2个平行四边形，
综上所述，共有6个符合条件的平行四边形，满足条件的F点有4个，分别是：
F₁（1+

7-3 5

，1-

5

），F₂（1-

7-3 5

，1-

5

），F₃（1+

1+3 5

，

5

-1），F₄（1-

1+3 5

，

5

-1）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了垂径定理，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的对边平行的性质，（3）难度较大，难点在于要分情况讨论，并且点F在x轴下方时，点F确定，AD既可以为平行四边形的边，也可以为平行四边形的对角线．