Question

18．设x₁、x₂是方程x²+x-1=0的两个实数根，那么x${\;}_{1}^{3}$-2x${\;}_{2}^{2}$+2008=2006．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系即可得出x₁+x₂=-1、x₁•x₂=-1，结合原方程即可得出x₁³=2-2x₁²，将其代入x${\;}_{1}^{3}$-2x${\;}_{2}^{2}$+2008中即可得出结论．

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²+x-1=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=-1，x₁•x₂=-1．
又∵x₁³=x₁x₁²=x₁（1-x₁）=x₁（-x₁-x₂-x₁）=-2x₁²-2x₁•x₂=2-2x₁²，
∴x₁³-2x₂²+2008=2-2x₁²-2x₂²+2008=2010-2$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$+2x₁•x₂=2010-2×（-1）²+2×（-1）=2006．
故答案为：2006．

点评 本题考查了根与系数的关系，依据根与系数的关系结合原方程找出x₁³=2-2x₁²是解题的关键．