Question

如图，在边长为6

2

的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH=8，则FG=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：几何图形问题,压轴题

分析：如解答图，连接CG，首先证明△CGD≌△CEB，得到△GCE是等腰直角三角形；过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，进而证明△HEM≌△HCN，得到四边形MBNH为正方形，由此求出CH、HN、CN的长度；最后利用相似三角形Rt△HCN∽Rt△GFH，求出FG的长度．

解答：解：如图所示，连接CG．
在△CGD与△CEB中

BE=DG ∠EBC=∠GDC=90° BC=DC

∴△CGD≌△CEB（SAS），
∴CG=CE，∠GCD=∠ECB，
∴∠GCE=90°，即△GCE是等腰直角三角形．
又∵CH⊥GE，
∴CH=EH=GH．
过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，则∠MHN=90°，
又∵∠EHC=90°，
∴∠1=∠2，
∴∠HEM=∠HCN．
在△HEM与△HCN中，

∠1=∠2 EH=CH ∠HEM=∠HCN

∴△HEM≌△HCN（ASA）．
∴HM=HN，
∴四边形MBNH为正方形．
∵BH=8，
∴BN=HN=4

2

，
∴CN=BC-BN=6

2

-4

2

=2

2

．
在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH=2

10

．
∴GH=CH=2

10

．
∵HM∥AG，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3．
又∵∠HNC=∠GHF=90°，
∴Rt△HCN∽Rt△GFH．
∴

CH

FG

=

HN

GH

，即

2 10

FG

=

4 2

2 10

，
∴FG=5

2

．
故答案为：5

2

．

点评：本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知识点，难度较大．作出辅助线构造全等三角形与相似三角形，是解决本题的关键．