Question

如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA=3，AC=2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．
（1）求线段OD的长；
（2）若弦MN=4，求tan∠C的值以及四边形ABDC的面积．

Answer 1

分析：（1）由AB与CD平行，得到两对同位角相等，再由半径OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换可得出∠C=∠D，根据等角对等边可得出OC=OD，由OA及AC的长，得出OC的长，即为OD的长；
（2）过O作OH垂直于CD，由AB与CD平行可得出OE垂直于AB，根据垂径定理得到H为MN的中点，根据MN的长求出MH的长，再由半径OM的长，利用勾股定理求出OH的长，在直角三角形OCH中，由OH及OC的长，利用勾股定理求出CH的长，利用锐角三角函数定义可得出tanC的值，由tanC的值得出tan∠AOB的值为1：2，设OE=x，则有AE=2x，由OA的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OE及AE的长，由OE垂直于AB，根据垂径定理得到E为AB的中点，根据AB=2AE得到AB的长，同理CD=2CH，得出CD的长，利用三角形的面积公式分别求出三角形AOB的面积及三角形OCD的面积，可由三角形OCD的面积-三角形OAB的面积得出四边形ABDC的面积．

解答：解：（1）∵AB∥CD，
∴∠C=∠OAB，∠D=∠OBA，
又∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，
∴∠C=∠D，又OA=3，AC=2
∴OD=OC=OA+AC=3+2=5；

（2）作OH⊥CD于点H，交AB于点E，连接OM，

∵OH⊥MN，MN=4，
∴MH=NH=

1

2

MN=2，又OM=OA=3，
在Rt△OMH中，根据勾股定理得：OH=

OM2-MH2

=

32-22

=

5

，
在Rt△OCH中，OC=5，OH=

5

，
根据勾股定理得：CH=

OC2-OH2

=

52-( 5 )2

=2

5

，
∴tanC=

OH

CH

=

5

2 5

=

1

2

，
∵AB∥CD，OH⊥CD，
∴∠C=∠OAB，OE⊥AB，
∴tan∠OAB=

OE

AE

=

1

2

，
设OE=x，则AE=2x，又OA=3，
在Rt△AOE中，根据勾股定理得：OA²=AE²+OE²，即3²=x²+（2x）²，
解得：x=

3 5

5

，
∴AE=2x=

6 5

5

，OE=x=

3 5

5

，
∴AB=2AE=

12 5

5

，CD=2CH=4

5

，
∴S_{四边形ABDC}=S_△OCD-S_△OAB=

1

2

CD•OH-

1

2

AB•OE=

1

2

×4

5

×

5

-

1

2

×

12 5

5

×

3 5

5

=

32

5

．

点评：此题考查了平行线的性质，锐角三角函数定义，垂径定理，勾股定理，以及三角形的面积公式，利用方程及转化的思想，遇到圆中的弦，常常过圆心作弦的垂线，由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．