Question

（2013•德庆县一模）如果方程x²+px+q=0（p²-4q≥0）的两个根是x₁，x₂，
（1）求证：x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q；
（2）已知关于x的方程x²+mx+n=0，（n≠0）求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（3）已知a，b满足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，求

a

b

+

b

a

的值．

Answer 1

分析：（1）利用求根公式求得原方程的两根，然后求其和与积；
（2）设关于x的方程x²+mx+n=0的两根为x₁、x₂，则有：x₁+x₂=-m，x₁•x₂=m．且由已知所求方程的两根为

1

x1

、

1

x2

．则根据韦达定理推知

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1•x2

=

-m

n

．

1

x1

•

1

x2

=

1

x1•x2

=

1

n

，由此易求得一元二次方程；
（3）根据题意知a，b是方程x²-15x-5=0的两根．所以根据根与系数的关系求得a+b=15，ab=-5，则

a

b

+

b

a

=

(a+b)2-2ab

ab

=

(a+b)2

ab

-2=

152

-5

-2=-47．

解答：解：（1）证法1：∵x²+px+q=0，
∴x1=

p2-4q -p

2

，x2=

- p2-4q -p

2

．
∴x1+x2=

p2-4q -p

2

+

- p2-4q -p

2

=-p，
∴x1x2=

p2-4q -p

2

×

- p2-4q -p

2

=q．
证法2：∵x²+px+q=0的两根为x₁，x₂．
∴(x-x1)(x-x2)=x2+px+q，
即x2-(x1+x2)x+x1x2=x2+px+q．
∴x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．

（2）设关于x的方程x²+mx+n=0的两根为x₁、x₂，则有：x₁+x₂=-m，x₁•x₂=n，且由已知所求方程的两根为

1

x1

、

1

x2

．
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1•x2

=

-m

n

．

1

x1

•

1

x2

=

1

x1•x2

=

1

n

，
∴所求方程为x²-

-m

n

x+

1

n

=0，即nx²+mx+1=0（n≠0）；

（3）∵a，b满足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，
∴a，b是方程x²-15x-5=0的两根．
∴a+b=15，ab=-5，
∴

a

b

+

b

a

=

(a+b)2-2ab

ab

=

(a+b)2

ab

-2=

152

-5

-2=-47．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．