Question

9．如图1，放置的一副三角尺，将含45°角的三角尺斜边中点O为旋转中心，逆时针旋转30°得到如图2，连接OB、OD、AD．
（1）求证：△AOB≌△AOD；
（2）试判定四边形ABOD是什么四边形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意得：∠BAC=60°，∠ABC=∠EDF=90°，EF=AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出OB=$\frac{1}{2}$AC=OA，OD=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$AC=OB，由等腰三角形的性质得出OD⊥EF，证出△AOB是等边三角形，得出∠AOB=60°，由旋转的性质得：∠AOE=30°，证出∠AOD=60°，由SAS证明△AOB≌△AOD即可；
（2）由全等三角形的性质得出AB=AD=OB=OD，即可得出四边形ABOD是菱形．

解答 （1）证明：根据题意得：∠BAC=60°，∠ABC=∠EDF=90°，EF=AC，
∵O为AC的中点，
∴OB=$\frac{1}{2}$AC=OA，OD=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$AC=OB，OD⊥EF，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，AB=OB=OA，
由旋转的性质得：∠AOE=30°，
∴∠AOD=90°-30°=60°，
在△AOB和△AOD中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA}&{\;}\\{∠AOB=∠AOD=60°}&{\;}\\{OB=OD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△AOD（SAS）；

（2）解：四边形ABOD是菱形；理由如下：
∵△AOB≌△AOD，
∴AB=AD，
∴AB=AD=OB=OD，
∴四边形ABOD是菱形．

点评 本题考查了旋转的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．