Question

15．如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB=5，BC=12，EF=6，求：
①BO的长；
②菱形AFCE的面积．

Answer 1

分析 （1）由ASA证明△AOE≌△COF，得出对应边相等EO=FO，证出四边形AFCE为平行四边形，再由FE⊥AC，即可得出结论．
（2）①如图，连接OB，OB为直角△ABC斜边的一半；
②菱形的面积=两对角线乘积的一半．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，FE⊥AC，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形．

（2）如图，连接OB，
∵AB=5，BC=12，
∴由勾股定理知，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
又∵OB是AC边上的中线，
∴OB=$\frac{1}{2}$AC=6.5；
②菱形AFCE的面积为：$\frac{1}{2}$EF•AC=$\frac{1}{2}$×6×13=39．

点评 本题考查了矩形的性质、菱形的判定方法、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．