Question

蜘蛛和苍蝇在一个圆柱面上，这个圆柱的高为10，底面的半径为4，如图所示，AA′、BB′是圆柱的两条母线，蜘蛛在BB'上的P点，PB′=2，苍蝇在AA′上的Q点，QA=3，蜘蛛沿圆柱表面爬向苍蝇，求最短路程为多少？

Answer 1

分析：要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，首先要把两个点展开到一个平面内，然后分析展开图形中的数据，根据勾股定理即可求解．

解答：解：将曲面沿AA₁展开，如图所示，过Q作QT⊥BB₁于T，
在Rt△PQT中，∠PTQ=90°，TQ=10-2-3=5（cm），TP=

1

2

×2π×4=4π（cm），
由勾股定理，得PQ=

TQ2+TP2

=

52+16π2

=

25+16π2

（cm）．
答：蜘蛛所走的最短路线是

25+16π2

cm．

点评：本题考查了平面展开--最短路径问题．由于蜘蛛与苍绳均属于玻璃容器的外侧，因而蜘蛛不能直接到达点P，需沿侧面爬行．为此，可将曲面沿AA₁展开，显然蜘蛛所走的最短的路线即为线段PQ，从而可构造直角三角形，用勾股定理求出PQ的长．