Question

20、如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为CB、BA上的点，且CD=BF以AD为一边作等边三角形ADE．
①在图中能找出一个与△CBF全等的三角形吗？并证明你的结论；
②请探究四边形CDEF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析：①△ADC≌△CBF，因为CD=BF，△ABC为等边三角形，很容易找到全等的结论．
②连接BE，结合第（1）问，可证△AEB≌△ADC≌△CBF，所以CF=DE，EF=CD，故得证

解答：解：（1）能．△ADC≌△CBF．
∵CD=BF，∠B=∠ACD，AC=CB，
∴△ADC≌△CBF．
（2）四边形CDEF是平行四边形．
连接BE，∵AB=AC，∠EAD-∠DAB=∠BAC-∠DAB，
∴∠EAB=∠CAD，AE=AD（△ADE是等边三角形），
∴△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠ACD=60°，CD=EB．（全等三角形的对应角相等，对应边相等）
∵CD=BF，
∴BE=BF，
∴△BEF是等边三角形．
∴EF=CD．
∵△ADC≌△CBF．
∴AD=CF．
∵AD=DE，
∴CF=DE．
∴四边形CDEF是平行四边形．

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理．