Question

如图，Rt△ABC≌Rt△FED，其中∠BCA=∠EDF=90°，∠B=∠E=30°，AC=FD=

3

．开始时，AC与FD重合，△DEF不动，让△ABC沿BE方向以每秒1个单位的速度向右平移，直到点C与点E重合为止．设移动x秒，两个三角形重叠部分的面积为y．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）请问运动多长时间，重叠部分的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：（1）设AB和DF、AC和EF分别交于点M、N，AB、EF交于点O，过O作OP⊥BE于点P，可用x分别表示出DM、CN、OP的长，可表示出梯形DMOP和CNOP的面积，可求得y与x的函数关系式；
（2）结合（1）是的函数关系式，根据二次函数的最值可求得答案．

解答：解：
（1）如图，设AB和DF、AC和EF分别交于点M、N，AB、EF交于点O，过O作OP⊥BE于点P，

在△ABC中，AC=

3

，∠B=30°，
∴BC=3，AB=2

3

，
由题意可知当运动x秒时，移动距离为x，
即CD=x，则BD=CE=3-

3

，
在△BPO和△EPO中

∠B=∠E ∠BPO=∠EPO OP=OP

∴△BPO≌△EPO（AAS），
∴BP=EP，
∴DP=PC=

1

2

CD=

1

2

x，
∴BP=BC-PC=3-

1

2

x，
同理可求得DM=CN，
在Rt△BDM中，∠B=30°，BD=3-x，
∴DM=BD•tan30°=（3-x）×

3

3

=

3

-

3

3

x，
同理可求得OP=BP•tan30°=（3-

1

2

x）×

3

3

=

3

-

3

6

x，
∴y=S_梯形DPOM+S_梯形CNOP=

1

2

（DM+OP）DP+

1

2

（CN+OP）DP=

1

2

（DM+OP）DC=

1

2

（2

3

-

3

2

x）×x=-

3

4

x²+

3

x，
即y与x的函数关系式为y=-

3

4

x²+

3

x，其中0≤x≤3；
（2）由（1）知y=-

3

4

x²+

3

x=-

3

4

（x-2）²+

3

，
∴当x=2时，y有最大值，最大值为

3

，
即当运动2秒时，重叠部分的面积最大，最大面积为

3

．

点评：本题主要考查函数表达式的求法及二次函数的最值，根据题意确定出重叠部分的图形，利用x表示出重叠部分的面积是解题的关键，用时间表示出相关线段的长度是解决这类问题的基本思路．