Question

等腰三角形一边是5，腰上的高是3，则这个等腰三角形的周长是

 

．

Answer 1

考点：勾股定理,等腰三角形的性质

专题：分类讨论

分析：作出图形，分①5是腰长时，利用勾股定理列式求出AD，再分CD在三角形内部和外部两种情况求出BD，利用勾股定理列式求出BC，然后根据三角形的周长的定义解答；②5是底边时，利用勾股定理列式求出BD，过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质求出BE，然后利用∠B的余弦列式求出腰长，再根据三角形的周长的定义解答．

解答：解：①5是腰长时，由勾股定理得，AD=

52-32

=4，
如图1，高CD在三角形内部时，BD=AB-AD=5-4=1，
在Rt△BCD中，BC=

32+12

=

10

，
三角形的周长=5+5+

10

=10+

10

；
如图2，高CD在三角形外部时，BD=AB+AD=5+4=9，
在Rt△BCD中，BC=

32+92

=3

10

，
三角形的周长=5+5+3

10

=10+3

10

；
②如图3，5底边时，由勾股定理得，BD=

52-32

=4，
过点A作AE⊥BC于E，则BE=

1

2

BC=

5

2

，
∵cos∠B=

BE

AB

=

BD

BC

，
∴

5 2

AB

=

4

5

，
解得AB=

25

8

，
三角形的周长=

25

8

×2+5=

45

4

．
综上所述，三角形的周长为10+

10

或10+3

10

或

45

4

．
故答案为：10+

10

或10+3

10

或

45

4

．

点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．