【题目】如图,在△ABC中,点D在△ABC的内部且DB=DC,点E,F在△ABC的外部,FB=FA,EA=EC,∠FBA=∠DBC=∠ECA.
(1)①填空:△ACE∽∽;
(2)求证:△CDE∽△CBA;
(3)求证:△FBD≌△EDC;
(4)若点D在∠BAC的平分线上,判断四边形AFDE的形状,并说明理由.
【答案】
(1)△ABF;△BCD
(2)
解:由①知,△ACE∽△BCD,
∴ ,即
,
∵∠ECA=∠DCB,
∴∠ECD=∠ACB,
∴△CDE∽△CBA
(3)
证明:∵△CDE∽△CBA,
∴∠ABC=∠EDC,
∵∠ABC=∠FBD,
∴∠EDC=∠FBD,
同理△BFD∽△BAC,
∴∠FDB=∠ACB,
∵∠ACB=∠ECD,
∴∠FDB=∠ACB,
在△FBD与△EDC中 ,
∴△FBD≌△EDC;
(4)
解:四边形AFDE是菱形,
理由:∵△FBD≌△EDC,
∴FB=DE,DF=CE,
∵FB=FA,EA=EC,
∴FD=AE,FA=DE,
∴四边形AFDE是平行四边形,
连接AD,则AD平分∠BAC,
即∠BAD=∠CAD,
∵∠BAF=∠CAE,
∴∠DAF=∠DAE,
∵AF∥DE,
∴∠DAF=∠ADE,
∴∠EAD=∠ADE,
∴EA=ED,
∴AFDE是菱形.
【解析】解:(1)∵DB=DC,
∴∠DBC=∠DCB,
∵FB=FA,EA=EC,
∴∠FBA=∠FAB,∠ACE=∠EAC,
∵∠FBA=∠DBC=∠ECA,
∴∠FAB=∠BCD=∠EAC,
∴△ACE∽△ABF∽△BCD;
故答案为:△ABF,△BCD;
(1)根据等腰三角形的性质得到∠DBC=∠DCB,∠FBA=∠FAB,∠ACE=∠EAC,等量代换得到∠FAB=∠BCD=∠EAC,于是得到结论;(2)根据相似三角形的性质得到 ,根据相似三角形的判定定理即可得到结论;(3)根据相似三角形的性质得到∠EDC=∠FBD,∠FDB=∠ACB等量代换得到∠FDB=∠ACB,根据全等三角形的判定即可得到结论;(4)根据全等三角形的性质得到FB=DE,DF=CE,等量代换得到FD=AE,FA=DE,推出四边形AFDE是平行四边形,连接AD,于是得到AD平分∠BAC,根据菱形的判定定理即可得到结论.
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【题目】从﹣3,﹣1, ,1,3这五个数中,随机抽取一个数,记为a,若数a使关于x的不等式组
无解,且使关于x的分式方程
﹣
=﹣1有整数解,那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是( )
A.﹣3
B.﹣2
C.﹣
D.
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【题目】在一条笔直的公路的同侧依次排列着A,C,B三个村庄,某天甲、乙两车分别从A,B两地出发,沿这条公路匀速行驶至C地停止,从甲车出发至甲车到达C地的过程,甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示.求:
(1)甲的速度是 , 乙的速度是;
(2)分别求出甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系式,并写出取值范围;
(3)若甲、乙两车到C地后继续沿该公路原速度行驶,求甲车出发多少小时,两车相距350km.
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【题目】如图,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:
①四边形CFHE是菱形;
②EC平分∠DCH;
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4;
④当点H与点A重合时,EF=2 .
以上结论中,你认为正确的有 . (填序号)
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【题目】如图①,把∠α=60°的一个单独的菱形称作一个基本图形,将此基本图形不断的复制并平移,使得下一个菱形的一个顶点与前一个菱形的中线重合,这样得到图②,图③,…
(1)观察以上图形并完成下表:
图形名称 | 基本图形的个数 | 菱形的个数 |
图① | 1 | 1 |
图② | 2 | 3 |
图③ | 3 | 7 |
图④ | 4 | |
… | … | … |
猜想:在图(n)中,菱形的个数为(用含有n(n≥3)的代数式表示);
(2)如图,将图(n)放在直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1 , 1),则x1=;第2017个基本图形的中心O2017的坐标为 .
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【题目】已知一个函数图象经过(1,﹣4),(2,﹣2)两点,在自变量x的某个取值范围内,都有函数值y随x的增大而减小,则符合上述条件的函数可能是( )
A.正比例函数
B.一次函数
C.反比例函数
D.二次函数
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【题目】如图,点B、C、D都在⊙O上,过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A,连接BC,∠B=∠A=30°,BD=2 .
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)
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【题目】如图在Rt△ACB中,C为直角顶点,∠ABC=25°,O为斜边中点.将OA绕着点O逆时针旋转θ°(0<θ<180)至OP,当△BCP恰为轴对称图形时,θ的值为 .
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【题目】如图在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣2,4),B(﹣2,1),C(﹣5,2).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐同时乘以﹣2,得到对应的点A2 , B2 , C2 , 请画出△A2B2C2;
(3)则S△A1B1C1:S△A2B2C2 .
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