Question

已知如图，矩形ABCD的周长为28，AB=6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于E、F，连接AF、CE、EF，且EF与AC相交于点O．
（1）求AC的长；
（2）求证：四边形AECF是菱形；
（3）求S_△ABF与S_△AEF的比值．

Answer 1

分析：（1）矩形ABCD的周长为28，AB=6，则可求得BC的值，再根据勾股定理求得AC的值；
（2）要证四边形AFCE是菱形，只需通过定义证明四边相等即可．此题实际是对判定菱形的方法“对角形垂直平分的四边形为菱形”的证明；
（3）因为AE=FC，AO=CO，OE=OF，则可根据SSS证明△AOE≌△COF，所以有S_△AEF=S_△ACF，再分别求得S_△ABF与S_△AEF的面积即可得到其比值．

解答：解：（1）∵ABCD是矩形
∴AB=DC，AD=BC
∵ABCD的周长为28，AB=6
∴AB+DC+AD+BC=28
∴BC=8
∴AC=

AB2+BC2

=

36+64

=10；

（2）∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠OAE=∠OCF
∵EF垂直平分AC
∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°
∴△AOE≌△COF
∴OE=OF
∴四边形AFEC是平行四边形
又∵EF⊥AC
∴四边形AFEC是菱形；

（3）∵AE=FC，AO=CO，OE=OF
∴△AOE≌△COF
∴S_△AEF=S_△ACF
∵S_△ABF=3BF，S_△AEF=3FC
∴S_△ABF：S_△AEF=BF：FC．
设FC=x，则AF=x，BF=8-x
在Rt△ABF中，由勾股定理
6²+（8-x）²=x²
解得x=

25

4

∴BF=8-x=

7

4

∴S_△ABF：S_△AEF=BF：FC=7：25

点评：此题主要考查了矩形的性质、线段的垂直平分线性质、菱形的判定以及勾股定理等知识的综合应用，有利于学生思维能力的训练．