Question

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是AB上的动点，⊙O过点B交AB于点D，OE⊥AC，垂足为E，DE的延长线交BC的延长线于点F．
（1）若BC=3，AC=4，当DE与⊙O相切时，求⊙O的半径；
（2）当BF=BD时，AC是⊙O的切线吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理得到AB=5，由DE与⊙O相切，得到∠ODE=90°，推出△ODE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到OE=$\frac{5r}{3}$，OE=$\frac{15-3r}{5}$，于是列方程得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{OD}{BD}$=$\frac{OE}{BF}$，根据分式的性质得到OE=OD，然后根据切线的判定定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5，
∵DE与⊙O相切，
∴∠ODE=90°，
∴∠ACB=∠ODE，
∵OE⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠DOE=∠B，
∴△ODE∽△ABC，
∴$\frac{OE}{AB}=\frac{OD}{BC}$，
设⊙O的半径为r，
∴$\frac{OE}{5}=\frac{r}{3}$，
∴OE=$\frac{5r}{3}$，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{OE}{BC}$=$\frac{AO}{AB}$，
∴$\frac{OE}{3}$=$\frac{5-r}{5}$，
∴OE=$\frac{15-3r}{5}$，
∴$\frac{5r}{3}$=$\frac{15-3r}{5}$，
∴r=$\frac{45}{34}$；
（2）AC是⊙O的切线，
理由：∵OE∥BF，
∴△DOE∽△DBF，
∴$\frac{OD}{BD}$=$\frac{OE}{BF}$，
∵BD=BF，
∴OE=OD，
∵OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．