Question

5．在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由等腰三角形的性质证出∠A=∠ODB，得出OD∥AC，证出DF⊥OD，即可得出结论；
（2）证明△OBD是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠BOD=60°，求出∠G=30°，由直角三角形的性质得出OG=2OD=2×6=12，由勾股定理得出DG=6$\sqrt{3}$，阴影部分的面积=△ODG的面积-扇形OBD的面积，即可得出答案．

解答 （1）证明：连接OD，如图所示：
∵AC=BC，OB=OD，
∴∠ABC=∠A，∠ABC=∠ODB，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AC=BC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴ABC=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵DF⊥OD，
∴∠ODG=90°，
∴∠G=30°，
∴OG=2OD=2×6=12，
∴DG=$\sqrt{3}$OD=6$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积=△ODG的面积-扇形OBD的面积=$\frac{1}{2}$×6×6$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{6}^{2}}{360}$=18$\sqrt{3}$-6π．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，是一道综合题，难度中等．