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    已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．
    （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；
    （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；
    （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

    【答案】分析：（1）因为∠BAC=∠DAE，所以∠BAE=∠CAD，又因为AB=AC，AD=AE，利用SAS可证出△BAE≌△CAD，可知BE、CD是对应边，根据全等三角形对应边上的中线相等，可证△AMN是等腰三角形．
    （2）利用（1）中的证明方法仍然可以得出（1）中的结论，思路不变．
    （3）先证出△ABM≌△ACN（SAS），可得出∠CAN=∠BAM，所以∠BAC=∠MAN（等角加等角和相等），又∵∠BAC=∠DAE，所以∠MAN=∠DAE=∠BAC，所以△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形，所以∠PBD=∠AMN，所以△PBD∽△AMN（两个角对应相等，两三角形相似）．
    解答：（1）证明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，
    ∵AB=AC，AD=AE，
    ∴△ABE≌△ACD，
    ∴BE=CD．
    ②由△ABE≌△ACD，得
    ∠ABE=∠ACD，BE=CD，
    ∵M、N分别是BE，CD的中点，
    ∴BM=CN．
    又∵AB=AC，
    ∴△ABM≌△ACN．
    ∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．

    （2）解：（1）中的两个结论仍然成立．

    （3）证明：在图②中正确画出线段PD，
    由（1）同理可证△ABM≌△ACN，
    ∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．
    又∵∠BAC=∠DAE，
    ∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．
    ∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．
    ∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形，
    ∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM，
    ∴△PBD∽△AMN．
    点评：本题利用了全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形一个顶角相等，则底角相等的性质，还有相似三角形的判定（两个角对应相等的两个三角形相似）．
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    （1）求点A的坐标；
    （2）求直线PA的函数表达式；
    （3）求m的值；
    （4）若S△BOP=S△DOP，请你直接写出直线BD的函数表达式．

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    说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）和（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为4分．
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