Question

如图，二次函数y=ax²-5ax+4a （a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为D．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若AD⊥BC，垂足为P，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，连接BD，若直线y=x+m把△ABD的面积分为1：3的两部分，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴ax²-5ax+4a=0
∵a≠0，
∴x²-5x+4=0，
解得x₁=1，x₂=4
∴A（1，0），B（4，0）．

（2）（方法一）连接AC、CD，由对称性知：四边形ABDC是等腰梯形，
∴∠CAB=∠DBA，
在△ABC与△BAD中，
AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=BA，
∴△ABC≌△BAD，
∴∠1=∠2
∵AD⊥BC，
∴∠1=∠2=45°，
∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=∠1=45°，
∴OC=OB=4，
∴C（0，4）
把C（0，4）的坐标代入y=ax²-5ax+4a，
得4a=4，
∴a=1，
∴二次函数的表达式为y=x²-5x+4．
（方法二）∵A、C两点关于抛物线对称轴的对称点分别为B、D，
∴AD、BC的交点P在抛物线对称轴上，
∴PA=PB
∵AD⊥BC，
∴∠1=∠2=45°，
∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=∠1=45°，
∴OC=OB=4，
∴C（0，4）
把C（0，4）的坐标代入y=ax²-5ax+4a，
得4a=4，
∴a=1
∴二次函数的表达式为y=x²-5x+4．
（3）∵直线y=x+m与x轴的夹角为45°，
∴直线y=x+m平行于AD，
设直线y=x+m交AB于E，交BD于F，
∴△BEF∽△BAD，
当S_△BEF：S_△BAD=1：4，
∴BE：BA=1：2，
∴BE=，AE=3-=，
∴E点坐标为（，0），
把E（，0）代入y=x+m，得+m=0，
∴m=-，
当S_△BEF：S_△BAD=3：4，
∴BE：BA=：2，
∴BE=，
∴AE=3-
∴E点坐标为（4-，0），
把E（4-，0）代入y=x+m，得4-+m=0，
∴m=-4+．
所以m的值为-或-4+．
分析：（1）A、B两点为x轴上的点，故其总坐标为0，令y=0解方程即可；
（2）根据图形特点，可以利用相似三角形的性质和直角三角形的性质求出C点坐标，再代入解析式求出a的值；
（3）根据题意可确定，直线x=m与x轴交点在线段AB上，S_△AMN=S_△ABD和S_△AMN=S_△ABD两种情况利用三角形面积公式解答．
点评：本题考查了二次函数的知识，将二次函数与三角形与等腰梯形相结合，充分体现了数形结合思想解决数学问题时的作用，解答此题的关键是充分利用解析式每一项都含a的特点及特殊三角形和等腰梯形的性质．