Question

在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x²+（b+2）x+6=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．

Answer 1

考点：根的判别式,三角形三边关系,等腰三角形的性质

专题：

分析：先由关于x的一元二次方程x²+（b+2）x+6=0有两个相等的实数根，得出根的判别式△=0，据此求出b的值；再由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．

解答：解：∵关于x的方程x²+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，
∴△=（b+2）²-4×6=0，即b²+4b-20=0；
解得b=-2+2

6

，b=-2-2

6

（舍去）；
①当a为底，b为腰时，能够构成三角形；此时△ABC的周长为：2（-2+2

6

）+5=1+4

6

；
②当b为底，a为腰时，能够构成三角形；此时△ABC的周长为：（-2+2

6

）+5×2=8+2

6

．

点评：此题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式（△=b²-4ac）之间的关系、根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理，综合性较强，难度中等．注意在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在满足三角形三边关系定理的条件下分类讨论，以免造成多解、错解．