Question

如图，四条线段的长分别为9，5，x、1（其中x为正实数），用它们拼成两个相似的直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段，则x可取值的个数为

1. A.
   1个
2. B.
   3个
3. C.
   6个
4. D.
   9个

Answer 1

C
分析：首先过B作BE∥CD交AD的延长线于E，根据题意即可得BE=CD，DE=BC，∠E=90°，可得AB是最长边，长为9或x，然后由勾股定理可得AB²=（AD+DE）²+BE²=（AD+BC）²+CD²，然后分别从AB=x，CD为9或5或1；AB=9，CD=x或5或1去分析求解，即可求得答案．
解答：解：过B作BE∥CD交AD的延长线于E，
根据题意得：BE=CD，DE=BC，∠E=90°，
∴AB²=（AD+DE）²+BE²=（AD+BC）²+CD²，
∵∠ADC=∠C=90°，
∴AB是最长边，长为9或x，
若AB=x，CD=9，则x==3；
若AB=x，CD=5，则x==5；
若AB=x，CD=1，则x=；
若AB=9，CD=x，则x==3；
若AB=9，CD=5，则x=-1=2-1；
若AB=9，CD=1，则x=-5=4-5．
故想C．
点评：此题考查了勾股定理的应用与相似三角形的知识．此题难度很大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．