Question

4．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点M（1，-1），过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在x轴的正半轴上取一点P（t，0），过点P作直线OM的垂线l．若点N关于直线l的对称点在此反比例函数的图象上，则t=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根据反比例函数图象上点的坐标特征由点A坐标为（1，-1）得到k=-1，即反比例函数解析式为y=-$\frac{1}{x}$，且ON=MN=1，则可判断△OMN为等腰直角三角形，知∠MON=45°，再利用PQ⊥OM可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PN=PN′，NN′⊥PQ，所以∠NPQ=∠N′PQ=45°，于是得到N′P⊥x轴，则点n′的坐标可表示为（t，-$\frac{1}{t}$），于是利用Pn=Pn′得t-1=|-$\frac{1}{t}$|=$\frac{1}{t}$，然后解方程可得到满足条件的t的值．

解答 解：如图，∵点M坐标为（1，-1），
∴k=-1×1=-1，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{1}{x}$，
∵ON=MN=1，
∴△OMN为等腰直角三角形，
∴∠MON=45°，
∵直线l⊥OM，
∴∠OPQ=45°，
∵点N和点N′关于直线l对称，
∴PN=PN′，NN′⊥PQ，
∴∠N′PQ=∠OPQ=45°，∠N′PN=90°，
∴N′P⊥x轴，
∴点N′的坐标为（t，-$\frac{1}{t}$），
∵PN=PN′，
∴t-1=|-$\frac{1}{t}$|=$\frac{1}{t}$，
整理得t²-t-1=0，解得t₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，t₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（不符合题意，舍去），
∴t的值为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数的综合题，涉及知识点有反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质和用求根公式法解一元二次方程等．利用对称的性质得到关于t的方程是解题的关键．