Question

【题目】施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．

（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上，B，C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．

Answer 1

【答案】
（1）解：M（12，0），P（6，6）
（2）解：∵顶点坐标（6，6）

∴设y=a（x﹣6）2+6（a≠0）

又∵图象经过（0，0）

∴0=a（0﹣6）2+6

∴

∴这条抛物线的函数解析式为y=﹣ （x﹣6）2+6，即y=﹣ x2+2x

（3）解：设A（x，y）

∴A（x，﹣ （x﹣6）2+6）

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC=﹣ （x﹣6）2+6，

根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x，

∴BC=12﹣2x，即AD=12﹣2x，

∴令L=AB+AD+DC=2[﹣ （x﹣6）2+6]+12﹣2x=﹣ x2+2x+12=﹣ （x﹣3）2+15．

∴当x=3，L最大值为15

∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米．

【解析】确定了抛物线的顶点式，可以设抛物线的顶点式，又过原点（0，0），就可以确定抛物线解析式；设OB=x，由对称性得CM=x，这样就可以用含x的式子表示AB、AD、CD了，为求三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值，提供依据．