Question

如图所示，Rt△ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知OA=3，OB=4．将纸片的直角部分翻折，使点C落在AB边上，记为D点，AE为折痕，E在y轴上．
（1）在如图所示的直角坐标系中，求E点的坐标及AE的长．
（2）线段AD上有一动点P（不与A、D重合）自A点沿AD方向以每秒1个单位长度向D点作匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜3），过P点作PM∥DE交AE于M点，过点M作MN∥AD交DE于N点，求四边形PMND的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）当t（0＜t＜3）为何值时，A、D、M三点构成等腰三角形？并求出点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）由折叠可知△AOE≌△ADE，根据全等三角形的对应边相等，以及对应角相等得到OE=ED，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，根据勾股定理求出AB的长，设出ED=OE=x，在直角三角形BED中，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而写出点E的坐标，再在直角三角形AOE中，根据勾股定理求出AE的长即可；
（2）根据两组对边互相平行得到四边形MNDP为平行四边形，又∠ADE为直角，所以MNDP为矩形，根据题意表示出AP的长，进而得到PD的长，又由平行得到两对同位角相等，进而得到△AMP∽△AED，根据相似三角形对应边成比例得到比例式，将各自的值代入表示出PM的长，由矩形的面积公式长乘以宽和表示出的长DP与宽PM，表示出矩形的面积，得到面积与t成二次函数关系，利用二次函数求最值的方法求出面积S的最大值及取得最大值时t的值即可；
（3）根据题意发现有两种情况满足△ADM为等腰三角形，①当MD=MA时，P为AD中点，由AD求出AP，进而根据速度求出此时t的值，此时三角形AMD为等腰三角形，过M作MF垂直于x轴，根据“ASA”得到△APM≌△AFM，求出MF=MP，即为M的纵坐标，求出FA，进而求出OF的长，即为M的横坐标，写出M的坐标即可；②当AD=AM=3时，由平行的两对同位角相等，进而得到△AMP∽△AED，根据相似三角形对应边成比例得到比例式，求出AP的长，由速度求出此时t的值，此时三角形AMD为等腰三角形，过M作MF垂直于x轴，根据“ASA”得到△APM≌△AFM，同理可得M的坐标．

解答：解：（1）据题意，△AOE≌△ADE，
∴OE=DE，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，
在Rt△AOB中，AB=

32+42

=5，
设DE=OE=x，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD²+DE²=BE²，
即2²+x²=（4-x）²，解得x=

3

2

，∴E（0，

3

2

）
在Rt△AOE中，AE=

32+( 3 2 )2

=

3 5

2

；

（2）∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE=90°，
∴四边形PMND是矩形，
∵AP=t×1=t，
∴PD=3-t，
∵△AMP∽△AED，
∴

PM

DE

=

AP

AD

，
∴PM=

AP

AD

•DE=

t

2

，
∴S矩形PMND=PM?PD=

t

2

?(3-t)，
∴S矩形PMND=-

1

2

t2+

3

2

t或S矩形PMND=-

1

2

(t-

3

2

)2+

9

8

，
当t=-

3 2

2×(- 1 2 )

=

3

2

时S最大=

9

8

；

（3）显然DM≠AD，故等腰三角形有以下二种情况：
①当MD=MA时，点P是AD中点，
∴AP=

AD

2

=

3

2

，
∴t=

3

2

÷1=

3

2

（秒）
∴当t=

3

2

时，A、D、M三点构成等腰三角形，
过点M作MF⊥OA于F，
∵△APM≌△AFM，
∴AF=AP=

3

2

，MF=MP=

t

2

=

3

4

，
∴OF=OA-AF=3-

3

2

=

3

2

，
∴M（

3

2

，

3

4

）；

②当AD=AM=3时，
∵△AMP∽△AED，
∴

AP

AD

=

AM

AE

，
∴

AP

3

=

3

3 5 2

，
∴AP=

6 5

5

，
∴t=

6 5

5

÷1=

6 5

5

（秒）
∴当t=

6 5

5

秒时，A、D、M三点构成等腰三角形，
过点M作MF⊥OA于F，
∵△AMF≌△AMP，
∴AF=AP=

6 5

5

，FM=PM=

t

2

=

3 5

5

，
∴OF=OA-AF=3-

6 5

5

，
∴M（3-

6

5

5

，

3

5

5

）．

点评：此题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，考查了数形结合及分类讨论的数学思想，此题的综合性比较强，要求学生掌握知识要全面．