Question

17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于E，过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF，AE．
（1）求证：四边形BDCF为菱形；
（2）若四边形BDCF的面积为24，tan∠EAC=$\frac{2}{3}$，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）求出四边形ADFC是平行四边形，推出CF=AD=BD，根据平行四边形的判定得出四边形BDCF是平行四边形，求CD=BD，根据菱形的判定得出即可；
（2）设CE=2x，AC=3x，求出BC=4x，DF=AC=3x，根据菱形的面积公式求出x，求出EF和CE，根据勾股定理求出CF即可．

解答 （1）证明：DE⊥BC，∠ACB=90°，
∴∠BED=∠ACB，
∴DF∥AC，
∵CF∥AB，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴AD=CF，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∵BD∥CF，
∴四边形BDCF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴DC=BD，
∴四边形BDCF是菱形；

（2）解：∵tan∠EAC=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴设CE=2x，AC=3x，
∵四边形BDCF是菱形，
∴BE=CE=2x，
∴BC=4x，
∵四边形ADFC是平行四边形，
∴DF=AC=3x，
∵四边形BDCF的面积为24，
∴$\frac{1}{2}×BC×DF$=24，
∴$\frac{1}{2}•4x•3x=24$，
解得：x=2（负数舍去），
∴CE=4，DF=6，
∴DE=EF=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵DE⊥BC，
∴∠CEF=90°，
∴由勾股定理得：CF=$\sqrt{C{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．

点评 本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，能熟记菱形的性质和判定定理是解此题的关键．