Question

9．如图，已知抛物线m：y=ax²-6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点B（0，1），直线n：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E（-7，7）．
（1）求抛物线m的解析式；
（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；
（3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）抛物线顶点在x轴上则可得出顶点纵坐标为0，将解析式进行配方就可以求出a的值，继而得出函数解析式；
（2）利用轴对称求最短路径的方法，首先通过B点关于l的对称点B′来确定P点位置，再求出直线B′E的解析式，进而得出P点坐标；
（3）可以先求出直线FD的解析式，结合以线段FQ为直径的圆恰好经过点D这个条件，明确∠FDG=90°，得出直线DG解析式的k值与直线FD解析式的k值乘积为-1，利用D点坐标求出直线DG解析式，将点Q坐标用抛物线解析式表示后代入DG直线解析式可求出点Q坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上
∴配方得y=a（x-3）²-9a+1，则有-9a+1=0，解得a=$\frac{1}{9}$
∴A点坐标为（3，0），抛物线m的解析式为y=$\frac{1}{9}$x²-$\frac{2}{3}$x+1；
（2）∵点B关于对称轴直线x=3的对称点B′为（6，1）
∴连接EB′交l于点P，如图所示
设直线EB′的解析式为y=kx+b，把（-7，7）（6，1）代入得
$\left\{\begin{array}{l}{-7k+b=7}\\{6k+b=1}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{6}{13}}\\{b=\frac{49}{13}}\end{array}\right.$，
则函数解析式为y=-$\frac{6}{13}$x+$\frac{49}{13}$
把x=3代入解得y=$\frac{31}{13}$，
∴点P坐标为（3，$\frac{31}{13}$）；
（3）∵y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$与x轴交于点D，
∴点D坐标为（7，0），
∵y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$与抛物线m的对称轴l交于点F，
∴点F坐标为（3，2），
求得FD的直线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$，若以FQ为直径的圆经过点D，可得∠FDQ=90°，则DQ的直线解析式的k值为2，
设DQ的直线解析式为y=2x+b，把（7，0）代入解得b=-14，则DQ的直线解析式为y=2x-14，
设点Q的坐标为（a，$\frac{1}{9}{a}^{2}-\frac{2}{3}a+1$），把点Q代入y=2x-14得
$\frac{1}{9}{a}^{2}-\frac{2}{3}a+1$=2a-14
解得a₁=9，a₂=15．
∴点Q坐标为（9，4）或（15，16）．

点评 本题考查的知识点是二次函数性质、一次函数性质、轴对称性质，解题的关键是明确找线段和最小的点要通过轴对称性质找对称点，以线段FQ为直径的圆恰好经过点D则要转化为∠FDG=90°的条件来考虑．